TEOREMA FERMAT, WILSON, DAN EULER

TEORI BILANGAN

“TEOREMA FERMAT, WILSON, DAN EULER”

Oleh:

Kelompok VIII

           Nur Ekasari                                   10536 4629 13

           Khaera Ummah                              10536 4634 13

           Asri                                                 10536 4649 13

MATEMATIKA 2013 E

JURUSAN PENDIDIKAN MATEMATIKA

FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN

UNIVERSITAS MUHAMMADIYAH MAKASSAR

2013/2014

KATA PENGANTAR

Puji syukur kami panjatkan kehadirat Allah SWT yang telah memberikan rahmat serta karunia-Nya kepada kami sehingga kami berhasil menyelesaikan makalah ini yang alhamdulillah tepat pada waktunya.

           Makalah ini berisikan tentang awal di temukannya Teorema Fermat, Wilson dan Teori Euler dan penerapan serta pembuktiannya. Diharapkan makalah ini dapat memberikan informasi kepada kita semua.

Meskipun telah berusaha dengan segenap kemampuan, namun kami menyadari bahwa tugas ini masih jauh dari kesempurnaan dan tak mudah diselesaikan tanpa ada bantuan dari dari beberapa judul buku yang kami baca dan tambahan informasi dari internet.

Oleh karena itu, dengan kerendahan hati kami berharap saran dan kritik membangun untuk perbaikan pada tugas-tugas selanjutnya. Akhir kata kami ucapkan “Alhamdulillah” telah menyelesaikan tugas makalah ini dengan mudah tanpa ada kendala.

                                                                               Makassar,   November 2014

                                                                               Kelompok VIII                              

DAFTAR ISI

Kata Pengantar…………………………………………………………………..ii

Daftar Isi…………………………………………………………………………iii

Bab I Pendahuluan

A.    Latar belakang……………………………………………………………..1

B.     Rumusan masalah………………………………………………………….1

C.     Tujuan penulisan………………….…………………………………….…1

Bab II Pembahasan

A.    Teorema Fermat…………………………………………………………...2

B.     Teorema Wilson…………………………………………………………...5

C.     Teorema Euiler…………………………………………………………….8

Bab III Penutup

A.    Kesimpulan………………………………………………………………13

B.     Saran……………………………………………………………………..13

Daftar Pustaka………………………………………………………………….14

BAB I

PENDAHULUAN

A.    Latar Belakang

        Teori Bilangan adalah salah satu cabang Pelajaran Matematika yang membahas tentang berbagai hal tentang bilangan. Dalam teori bilangan terdapat satu baba yang membahas tentang tiga orang ilmuan matematika yang sangat berperan dalam perkembangan teori bilangan. Ketiga ilmuan itu adalah Fermat, Wilson, dan Euler yang memiliki teorema teorema yang mestinya dapat dipahamidan dibuktikan oleh Mahasiswa Pendididkan Matematika. Untuk menyikapi hal tersebut kami sebagai penyusun makalah berusaha menyajikan makalah ini dalam bentuk catatan catata sederhana yang insyaallah akan membuat kita lebih mampu menambah wawasan kita mengenai Teorema Fermat, Wilson, dan Euler.

B.     Rumusan Masalah

a.       Siapakah fermat?

b.      Bagaimana teorema-teorema yang dikemukakan oleh Fermat?

c.       Siapakah Wilson?

d.      Bagaimana teorema-teorema yang dikemukakan oleh Wilson?

e.       Siapakah Euler?

f.       Bagaimana teorema-teorema yang dikemukakan oleh Wilson?

C.    Tujuan Penulisan

         Adapun tujuan penulisan makalah ini yaitu untuk memudahkan kita membahas tentang teorema para ahli pengembangan teori bilangan, untuk mengetahui riwayat para ilmuan teori bilangan dan untuk mengetahui bukti-bukti teorema-teorema tersebut.

BAB II

PEMBAHASAN

TOREMA FERMAT, WILSON, DAN EULER

               Sebelum kita membahas teorema ketiga ilmuan matematika yang berperan dalam pengembangan teori bilangan, sebaiknya kita mengetahui apa teorema itu. Teorema adalah sebuah pernyataan, sering dinyatakan dalam bahasa alami, yang dapat dibuktikan atas dasar asumsi yang dinyatakan secara eksplisit ataupun yang sebelumnya disetujui. Dalam logika, sebuah teorema adalahpernyataan dalam bahasa formal yang dapat diturunkan dengan mengaplikasikan aturan inferensi dan aksioma dari sebuah sistem deduktif.

A.    Teorema Fermat

Teorema Fermat adalah salah satu teorema paling terkenal di dunia matematika dan dicetuskan oleh Pierre de Fermat pada abad ke-17. Pierre De Fermat, seorang pengacara yang juga matematikawan amatir abad ke-7, sering menulis komentar-komentar dipinggiran bukunya. Dan yang paling terkenal sepanjang sejarah adah Teorema Terkahir Fermat(Fermat Last Theorem). Dinamakan teorema terakhir bukan karena terakhir kali dipublikasikan, namun yang terakhir kali dibuktikan. Teorema ini tidak berhasil dibuktikan oleh semua matematikawan-matematikawan dunia selama 357 tahun lebih.

Teorema fermat berbunyi:

untuk n > 2, tidak ada bilangan bulat bukan nol x, y, dan z yang memenuhi persamaan

Jika p adalah bialangan ganjil, dan a, b, c adalah bilangan bulat positif memenuhi a^p+b^p=c^p, maka persamaan y² = x(x – a^p)(x + b^p) akan mendefinisikan sebuah kurva elips hipotetis kurva Frey, yang harusnya ada jika (dan hanya jika) teorema terakhir Fermat salah. Setelah karya Yves Hellegouarch yang pertama kali menyebutkan kurva ini, Frey menunjukkan bahwa jika kurva tersebut benar-benar ada, maka ia akan memiliki sifat-sifat yang aneh, dan mengusulkan bahwa kurva tersebut mungkin tidak memiliki bentuk modular.

Fermat mengaku telah mempunyai bukti terhadap teorema tersebut, namun dia tidak menuliskannya karena pinggiran bukunya tidak cukup lagi untuk ditulisi. Dia menulis seperti ini, “I have discovered a truly remarkable proof which this margin is to small to contain”. Sepanjang 300 tahun lebih teorema ini berusaha dibuktikan oleh seluruh matematikawan di seluruh dunia, seperti Leonhard Euler, Dirichlet, dll. Sebagai gambaran,sepanjang 4 tahun (1908-1912) terdapat 1000 bukti yang diterbitkan namun semuanya salah. Baru pada tahun 1993, momen yang ditunggu-tunggu datang.

Setelah berabad-abad Teori tersebut tidak terpecahkan akhirnya pada tahun 1994 seorang Andrew Wiles seorang matematikawan ahli teori bilangan dari Inggris yang berhasil membuktikan teorema ini. Ia membuktikan Teorema Terakhir Fermat dengan cara membuktikan Konjektur Taniyama-Shimura. Andrew Wiles mengenal teorema terakhir Fermat sejak berusia 10 tahun, dan berusaha membuktikannya dengan menggunakan buku-buku sekolah,dan akhirnya mempelajari karya-karya matematikawan yang berusaha membuktikan teorema tersebut. Saat memulai kuliah doktornya, ia berhenti bekerja dalam teorema Fermat

   

  Sekitar tahun 1950an, matematikawan Jepang Goro Shimura dan Yutaka Taniyama mengusulkan bahwa kurva elips dan bentuk modular berkaitan satu sama lain (Konjektur Shimura-Taniyama). Selanjutnya matematikawan Amerika, Ken Ribet, membuktikan bahwa Konjektur Shimura-Taniyama dan Teorema Terakhir Fermat adalah biimplikasi logis, artinya pembuktian Teorema Shimura-Taniyama juga membuat Teorema Terakhir Fermat telah terbukti. Mengetahui hal tersebut, Wiles bekerja secara rahasia untuk membuktikan teorema Shimura-Taniyama. Hanya istri dan temannya, saja yang mengetahui usahanya ini. Akhirnya Wiles membuktikan teorema Shimura-Taniyama dan konsekuensinya, membuktikan teorema terakhir Fermat dalam presentasi di Universitas Cambridge, 23 Juni 1993.

Dalam pembuktian tentang teorema ini yang terbagi dalan 3x pertemuan (21-23 Juni 1993) bukannya membicarakan teorema fermat, ia malah menjelaskan tentang kurva elips dalam Teorema Shimura-Taniyama, namun dalam kuliah terakhir, Wiles menggiring para peserta ke tujuan sebenarnya [keren]. Segera setelah ia menyelesaikan pembuktian Taniyama-Shimura conjecture dia menuliskan teorema terakhir Fermat di papan tulis dan berkata “Saya pikir cukup sampai di sini”.

“

I think I’ll stop here.

”

Pada Desember 1993, Wiles memberikan pernyataan bahwa setelah melakukan review beberapa masalah muncul, banyak diantaranya yang belum terselesaikan. Akan tetapi yang tertinggal hanya satu masalah dan Wiles menarik ulang klaimnya bahwa ia telah membuktikan FLT. Wiles berkata “The key reduction of (most cases of) the Taniyama-Shimura conjecture to the calculation of the Selmer group is correct. However the final calculation of a precise upper bound for the Selmer group in the semisquare case (of the symmetric square representation associated to a modular form) is not yet complete as it stands. I believe that I will be able to finish this in the near future using the ideas explained in my Cambridge lectures”.

Bersama rekannya Richard Taylor, Wiles memulai kerjanya untuk menambal kekurangan dalam pembuktian tersebut. Akhirnya, Wiles berhasil menambal kekurangan itu dengan mempublikasikan bukti kepada koleganya pada 6 Oktober 1994. Bukti tersebut sangat rumit, sehingga masih banya yang sanksi dengan kebenarannya. Namun ketika Taylor memberikan kuliah pada British Mathematical Colloquium di Edinburgh bulan April 1995 dia memberikan kesan bahwa tidak ada kesangsian yang tersisa terhadap Fermat Last Theorem.

B.     Teorema Wilson

Dalam buku yang dipublikasikan tahun 1770, seorang matematikawan Inggris Edward Waring menyatakan bahwa muridnya menemukan bahwa (p-1)!+1 habis dibagi oleh p berapapun p yang merupakan bilangan prima. Namun, tidak ada dari keduanya yang mampu membuktikannya. Tahun 1771, Joseph Lagrange membuktikan teorema ini, yang selanjutnya dikenal sebagai teorema Wilson. Teorema Wilson adalah salah satu teorema yang menggambarkan sifat dari bilangan prima. Menurut teorema wilson,  adalah bilangan prima jika  membagi  . Begitu pula sebaliknya suatu bilangan  yang membagi  maka bilangan tersebut adalah prima. Secara formal teorema wilson ditulis sebagai berikut:

Teorema Wilson: Jika  adalah bilangan prima, maka  

              Bukti: Karena teorema ini berbentuk bi-implikasi, kita harus   membuktikannya secara dua arah Diberikan bilangan prima  maka dapat dibentuk himpunan bilangan  yang merupakan grup atas perkalian modulo .

              Karena grup maka setiap elemen  mempunyai elemen invers  Sedemikian hingga . Jika  maka :

.

 atau

Diperoleh nilai  atau . Dengan kata laian hanya 1 dan  yang merupakan invers terhadap dirinya sendiri sedangkan elemen lainnya pada  mempunyai invers yang berbeda. Itu berati setiap elemen di  berbentuk pasangan dengan   kecuali untuk 1 dan . Jika semua elemen  dikalikan, diperoleh:

Dengan kata lain hasil dari  pada  adalah  dengan . Dapat disimpulkan

 Diketahui  andaikan komposite tidak prima maka  mempunyai faktor prima   dengan . Itu berarti   membagi  dan juga membagi , Jelas itu suatu mustahil. Dengan kata lain  adalah hal yang mustahil jika  tidak prima.

v  BUKTI TEOREMA WILSON:

      Untuk , maka adalah benar. Jadi, teorema itu benar untuk .
Sekarang, asumsikan adalah bilangan prima yang lebih besar 2.
Dari bilangan 1,2,3,4,5,..., (p-2), (p-1), bilangan yang memiliki invers modulo p terhadap dirinya sendiri hanya  dan .

Kita tahu bahwa  memiliki invers modulo dirinya sendiri, karena .
memiliki invers modulo dirinya sendiri, karena
.
                 Lalu bagaimana dengan bilangan selain  dan .
Seandainya  adalah sembarang integer yang mempunyai invers modulo terhadap dirinya sendiri dan , maka kondisi ini harus berlaku:

Kondisi ini ternyata berkontradiksi dengan pernyataan awal bahwa . Jadi, bilangan dalam selalu mempunyai pasangan invers modulo dengan bilangan yang lainnya.

       Selanjutnya, kita dapat melakukan grouping sbb:

_______
_______
Jadi, teorema Wilson pun TERBUKTI.

Konverse Teorema Wilson

Jika , maka adalah bilangan prima

v  Bukti:
Andaikan  adalah bilangan komposit. Artinya akan terdapat bilangan dimana  sehingga . Artinya, kondisi ini juga berlaku:

_____... (i)

Selanjutnya, karena , artinya . Karena , maka

_____... (ii)

Dari (i) dan (ii) dapat disimpulkan bahwa:

Padahal ini kontradiksi dengan pernyataan " ".
Artinya,  haruslah prima.
Konverse teorema Wilson TERBUKTI.

C.    Teorema Euler

Euler adalah fungsi pada bilangan asli yang didefinisikan sebgai berikut:

adalah banyaknya bilangan pada yang coprime ke

Contoh: karena ada 4 bilangann asli yang kurang dari 8 yang coprime ke 8 ke-4 bilangan tersebut adalah 1,3,5,7. kerna semua bilangan pada coprime ke 11.

Teorema

1. Jika prima maka
2. Jika prima dan  maka

Bukti

1.      Jika prima maka semu bilangan pada coprime ke , itu artinya

2.      Ada  elemen pada himpunan . Elemen pada himpunan tersebut tidak coprime ke  jika hanya jika dapat dibagi oleh . Elemen pada himpunan yang dapat dibagi oleh  adalah  Ada sebanyak  elemen yang tidak coprime ke  maka banyaknya elemen yang coprime ke  sebanyak

Sistem residu tereduksi mod (reduced residue system mod ) adalah himpunan bilangan-bilangan

Yang memenuhi

v  Jika maka

v  Untuk setiap coprime ke

     Dengan demikian Sistem residu tereduksi mod merepresentasikan bilangan-bilangan yang coprime ke

Contoh: dan keduanya merupakan sistem residu tereduksi mod

Lemma: Diberikan dan adalah Sistem residu tereduksi mod , berlaku:

1. Untuk semua bilangan bulat  maka  merupakan sistem residu tereduksi mod .
2. Jika  coprime ke  maka  merupakan sistem residu tereduksi mod .

Akibat: Diberikan  dan  adalah Sistem residu tereduksi mod , jika  coprime ke  dan  sebarang bilangan bulat maka merupakan sistem residu tereduksi mod .

Contoh:  merupakan sistem residu tereduksi mod . tmabahkan  pada setiap bilangan diperoleh , sistem residu tereduksi mod  lainnya, Kita tahu 6 coprime ke 25, jika kita kalikan sistem yang awal dengan 25 diperoleh  Sistem residu tereduksi mod  lainnya, terakhir  juga merupakan sistem residu tereduksi mod

Teorema Euler: Setiap bilangan bulat dan  bilangan bulat positif  yang coprime ke maka : .

Perhatikan jika  prima maka , teorema euler berubah menjadi teorema kecil fermat. Dengan demikian kita bisa menganggap teorema euler sebagai generalisasi teorema kecil fermat.

Bukti: Ambil  dan adalah Sistem residu tereduksi mod , diasumsikan  termuat di .nKarena  dan  coprime maka   juga merupakans sistem residu tereduksi mod , Kedua sistem tersebut haruslah mempunyai hasil perkalian modulus  yang sama

Karean setiap  coprime ke , jika dikalikan kedua sisi dengan  diperoleh

atau dengan kata lain 

Contoh: Himpunan S juga disebut sistem residu modulo N. Berkurang Bekerja Contoh

v  Apa unit digit dari 9753?

 Solusi: Menemukan unit digit nomor adalah setara dengan bekerja modulo 10. Dengan teorema Euler, kita hanya perlu menentukan nilai eksponen 753 Modulo φ (10) = 10 × (1-12) × (1-15) = 4. Lagi dengan teorema Euler, kita hanya perlu menentukan nilai eksponen 53 Modulo φ (4) = 4 × (1-12) = 2.

v  Hitung (dengan tangan) nilai 521.

Solusi: Dengan teorema Euler, φ (21) = 21 × (1-13) (1-17) = 12, menyiratkan 1012 ≡ 1 (mod21). Bahkan, kita bisa lebih baik daripada ini dengan menerapkan teorema Euler untuk φ (3) = 3 × (1-13) = 2 dan φ (7) = 7 × (1-17) = 6. Kita tahu bahwa 106 ≡ (102) 3 ≡ ≡ 13 1 (mod3) dan 106 ≡ 1 (mod7), sehingga 106 ≡ 1 (mod21).

Secara khusus, 106-1 = 21 × 47.619. Oleh karena itu, 521 = 5 × 4.761.921 × 47619 = 238095999999 = 0,238095238095......

BAB III

PENUTUP

A.    Kesimpulan

              Teorema Fermat adalah salah satu teorema paling terkenal di dunia matematika dan dicetuskan oleh Pierre de Fermat pada abad ke-17. Pierre De Fermat, seorang pengacara yang juga matematikawan amatir abad ke-7, sering menulis komentar-komentar dipinggiran bukunya. Dan yang paling terkenal sepanjang sejarah adah Teorema Terkahir Fermat(Fermat Last Theorem).

               Teorema Wilson adalah salah satu teorema yang menggambarkan sifat dari bilangan prima. Menurut teorema wilson,  adalah bilangan prima jika  membagi  . Begitu pula sebaliknya suatu bilangan  yang membagi  maka bilangan tersebut adalah prima.

   Teorema Euler: Setiap bilangan bulat dan  bilangan bulat positif  yang coprime ke maka : .

      Perhatikan jika  prima maka , teorema euler berubah menjadi teorema kecil fermat. Dengan demikian kita bisa menganggap teorema euler sebagai generalisasi teorema kecil fermat.

B.     Saran

                kami tahu bahawa dalam pembuatan makalah ini kami masih banayak kesalahan baik itu dalam penggunaan kosa-kata, penulisan, dan sebagainya. Oleh karena itu kami berharap kepada pembaca untuk memberikan krieik dan saran untuk pembuatan makalah kami berikutnya.

DAFTAR PUSTAKA

Arifin ummathematic.blogspot.com

Lutfi-nurul-auliablogspot.com

Dodyliza.blogspot.com

Sahatfp.blogspot.com