BILANGAN BULAT

Tugas Kelompok III

MAKALAH TEORI BILANGAN

”BILANGAN BULAT”

Disusun Oleh:

KELOMPOK III

III E MATEMATIKA

ASBAR SALIM         10536 4640 13

ABDUL RAIS           10536 4631 13

ZUL FITRAH            10536 4648 13

FARADIBA               10536 4626 13

PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA

FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN

UNIVERSITAS MUHAMMADIYAH MAKASSAR

2014

KATA PENGANTAR

            Puji syukur kami sampaikan ke hadiran Tuhan Yang Maha Pemurah, karena berkat kemurahanNya makalah ini dapat kami selesaikan sesuai yang diharapkan. Dalam makalah ini kami membahas “BILANGAN BULAT”berupa sifat, operasi dan tata urutan bilangan bulat serta pembuktiannya.

Dalam pembuatan makalah ini, penulis mendapat bantuan dari berbagai pihak, maka pada kesempatan ini penulis mengucapkan terima kasih yang sebesar-besarnya kepada : Drs. Baharullah, M.Pdserta Ahmad Syamsuadi, S.Pd. yang telah memberikan kesempatan dan memberi fasilitas sehingga makalah ini dapat selesai dengan lancar. Dan terima kasih pula kami ucapkan kepada bapak dan ibu dirumah yang telah memberikan bantuan materil maupun do’anya, sehingga pembuatan makalah ini dapat terselesaikan. Semua pihak yang tidak dapat penulis sebutkan satu persatu yang membantu pembuatan makalah ini.

Akhir kata semoga makalah ini bisa bermanfaat bagi pembaca pada umumnya dan penulis pada khususnya, penulis menyadari bahwa dalam pembuatan makalah ini masih jauh dari sempurna untuk itu penulis menerima saran dan kritik yang bersifat membangun demi perbaikan kearah kesempurnaan. Akhir kata penulis sampaikan terimakasih.

        Makassar, 13 November 2014

Kelompok III

DAFTAR ISI

Kata Pengantar.......................................................................................................... i

Daftar isi.................................................................................................................... ii

Bab I Pendahuluan

A.    Latar Belakang............................................................................................... 1

B.     Rumusan Masalah.......................................................................................... 1

C.     Tujuan Penulisan............................................................................................ 1

D.    Bab II Pembahasan

A.    Sifat dasar bilangan bulat.............................................................................. 2

B.     Penjumlahan bilangan bulat........................................................................... 4

C.     Pengurangan bilanga nbulat........................................................................... 5

D.    Perkalian bilangan bulat................................................................................. 6

E.     Pembagian bilangan bulat.............................................................................. 9

F.      Urutan bilangan bulat.................................................................................... 10

Bab III Penutup

A.    Kesimpulan.................................................................................................... 14

B.     Saran.............................................................................................................. 14

Daftar Pustaka........................................................................................................... 15

BAB I

PENDAHULUAN

A.    LATAR BELAKANG

Bilangan pada awalnya hanya dipergunakan untuk mengingat jumlah, namun dalam perkembangannya setelahpara pakar matematika menambahkan perbendaharaan simbol dan kata-kata yang tepat untuk mendefenisikan bilangan maka matematika menjadi hal yang sangat penting bagi kehidupan dan tak bisa kita pungkiri bahwadalam kehidupan keseharian kita akan selalu bertemu dengan yang namanya bilangan, karena bilangan selaludibutuhkan baik dalam teknologi, sains, ekonomi ataupun dalam dunia musik, filosofi dan hiburan serta banyak aspek kehidupan lainnya. Bilangan dahulunya digunakan sebagai simbol untuk menggantikan suatu benda misalnya kerikil, ranting yangmasing-masing suku atau bangsa memiliki cara tersendiri untuk menggambarkan bilangan dalam bentuk simbol.

Orang yang mahir matematika bukan berarti karena kebetulan. Untuk menguasai materi matematika disyaratkan mengetahui dan menguasai kajian dasarnya. Selanjutnya dia sering berlatih dengan soal-soal yang berkaitan dengan apa yang sedang dipelajarinya. Sehingga dia bisa menguasai secara benar teori, konsep dan penerapannya untuk mempelajari salah satu disiplin ilmu ini. Oleh karena itu untuk memenuhi tuntutan tersebut, dalam makalah singkat ini dicantumkan uaraian singkat tentang bilangan bulat. Bilangan bulat banyak digunakan dalam kehidupan sehari-hari, salah satu contohbya untuk mennetukan kedalaman laut, jika kita mengatakan kedalaman 20 m dibawah permukaan laut maka kita tulis -20 m.

B. RUMUSAN MASALAH

Rumusan masalah tentang makalah ini adalah :

1.      Apa sajakah sifat dasar bilangan bulat?

2.      Bagaimana operasi-operasi pada bilangan bulat?

3.      Bagaimanakah urutan-urutan pada bilangan bulat?

4.      Bagaimana pembuktian operasi pada bilangan bulat?

C. TUJUAN

Adapun tujuan dari makalah ini adalah :

1.      Agar dapat memahami sifat dasar pada bilangan bulat

2.      Agar dapat mengetahui operasi – operasi pada bilangan bulat

3.      Agar dapat memahami arti dari urutan bilangan-bilangan bulat,

4.      Agar dapat mengetahui pembuktian dari operasi bilangan bulat

BAB II

PEMBAHASAN

A.    SIFAT DASAR BILANGAN BULAT

Menurut Muh. Arif Tiro dkk (Teori Bilangan, 2008:111) mengatakan bahwa Sifat dasar bilangan bulat dimulai dengan definisi, karena definisi adalah cara formal untuk menjelaskan suatu pengertian dalam matematika.Jika n bilngan bulat, maka – n didefinisikan tunggal sehingga n + (n)= (-n) + n = 0.

Himpunan bilangan bulat adalah gabungan dari hmpunan bilangan cacah dan himpunan bilangan asli sehingga untuk setiap bilangan bulat n belaku sifat n + (n) = (-n) + n = 0. Jadi himpunan bilangan bulat dapat ditulis dalam bentuk daftar sebagai Z =. Bilangan bulat jika digambarkan dalam garis bilangan :

Sifat yang berlaku dalam himpunan bilangan bulat akan dibicarakan lebih terperinci sebagai berikut :

1.      Sifat Tertutup

·         Sifat tertutup terhadap  penjumlahan ada dengan tunggal yakni untuk setiap a dan b di dalam Z maka (a + b) juga di dalam Z

·         Sifat tertutup terhadap perkalian ada dengan tunggal, yakni untuk setiap a dan b  didalam Z maka a x b juga ada di dalam Z

2.      Sifat Komutatif

·         Sifat komutatif penjumlahan yaitu untuk setiap a dan b didalam Z berlaku a + b = b + a.

·         Sifat komutatif perkalian  yaitu  untuk setiap bilangan bulat a dan b berlaku a x b = b x a.

3.      Sifat Asosiatif

·         Sifat asosiatif terhadap penjumlahan yaitu untuk sebarang bilangan bulat a, b, dan c berlaku sifat (a+b)+c=a+(b+c)

·         Sifat asosiatif terhadap perkalian yaitu untuk sebarang bilangan bulat a, b, dan c berlaku (a x b) x c = a x (b x c)

4.      Sifat Distributif

·         Sifat distributif kiri perkalian terrhadap penjumlahan, yaitu untuk sebarang bilangan bulat a, b dan c berlaku sifat

a x (b + c) = (a x b) +(a x c)

·         Sifat distributive kanan perkalian  terhadap penjumlhan yaitu untuk sebarang bilangan u;at a, b, dan c berlaku sifat

(a + b) x c = (a x c) + (b x c)

5.      Unsur Identitas Penjumlahan

Untuk setiap bilangan bulat a, selalu berlaku a + 0 = 0 + a = a sehingga 0 disebut unsur identitas penjumlahan

6.      Unsur identitas perkalian

Untuk setiap bilangan bulat a, ada dengan tunggal bilangan bulat 1 sehingga a x 1 = 1 x a = 1 sehingga satu disebut unsur identitas perkalian.

Sifat kesamaan berikut penting untuk diketahui :

a.       Refleksi yaitu setiap bilangan bulat a berlaku a = a

b.      Simetris yaitu jika a = b maka b =a  untuk sebarang bilangan bulat a dan b ;

c.       Transitif yaitu jika a = b dan b = c maka a = c untuk sebarang bilangan bulat a, b, dan c.

d.      Substitusi, yaitu jika a = b, maka dapat disubstitusi untuk a, dalam suatu persyataan tanpa merubah nilai dari peryataan tersebut.

B.     PENJUMLAHAN BILANGAN BULAT

a)      Sifat-sifat Penjumlahan

1.      Sifat Asosiatif  : ( a + b ) + c = a + ( b + c )

Contoh : (5 + 3 ) + 4 = 5 + ( 3 + 4 ) = 12

2.      Sifat Komutatif : a + b = b + a

Contoh : 7 + 2 = 2 + 7 = 9

3.      Unsur Identitas terhadap penjumlahan

Bilangan Nol (0) disebut unsur identitas atau netral terhadap penjumlahan

a + 0 = 0 + a

Contoh : 6 + 0 = 0 + 6

4.      Unsur invers terhadap penjumlahan

·         Invers jumlah (lawan) dari a adalah –a

·         Invers jumlah (lawan) dari – a adalah a

·         a + (-a) = (-a) + a

Contoh : 5 + (-5) = (-5) + 5 = 0

5.      Bersifat Tertutup

Apabila dua buah bilangan bulat ditambahkan maka hasilnya adalah bilangan bulat juga. a dan b  bilangan bulat maka a + b = c ; c  bilangan bulat.

Contoh : 4 + 5 = 9 ; 4,5,9  bilangan bulat.

b)     Teorema Penjumlahan Bilangan Bulat

·         Jika a, b, dan c anggota himpunan blangan bulat Z, dan a = b maka

a + c = b + c

Bukti :

      Ambil a, b, dan c anggoata Z

      (a + c) Z                   (sifat tertutup)

      (a + c) = (a + c)           (sifat refleksi)

      a = b                            (diberikan)

      (a + c ) = (b + c)          (substitusi, 3 ke 2)

·         Jika a, b, dan c anggota dari himpunan bilangan bulat Z, dan a + c = b + c maka a = b

Bukti :

      ambil a, b, dan c di Z

      1). (a + c) (a + c) ∈ Z                                      sifat tertutup

      2). a + c = b + c                                              diberikan

      3). – c ∈ Z                                                       Invers tambahan

      4). (a+c) + (-c) = b + (c + (-c))

      5). a + (c + (-c)) = b + (c + (-c))         

      6). c + (-c) = 0

      7). a + 0 = b + 0

      8). a+0=a dan b+0=b

      9). a = b

Teorema diatas biasanya dikenal dengan sifat penghapusan dari penjumlahan

·         Bukti bahwa (-a) + (-b) = - (a + b)

Misalkan a dan b bilangan – bilangan cacah, maka (-a) + (-b) merupakan jumlah dua bilangan negatif. Misal (-a) + (-b) = c maka c = (-a) + (-b).

c + b = ((-a) + (-b)) + b                        sifat kesamaan

c + b = (-a) + ((-b) + b)                        sifat asosiatif penjumlahan

c + b = (-a) + 0                                    invers penjumlahan

(c + b) + a = (-a) + a                            sifat kesamaan

(c + b) + a = 0                                                 invers penjumlahan

c + (b + a) = 0                                                 sifat asosiatif penjumlahan

c + (a + b) = 0                                                 sifat komutatif penjumlahan

(c + (a + b)) + (-(a + b)) = – (a + b)     sifat kesamaan

c +((a + b) + (-(a + b))) = – (a + b)      sifat asosiatif

c + 0 = – (a + b)                                  invers penjumlahan

Jadi kesimpulannya (-a) + (-b) = – (a + b)

C.    PENGURANGAN BILANGAN BULAT

a)      Sifat-sifat Pengurangan Bilangan Bulat

Bilangan bulat a dikurangi bialangan bulat bsama artinya dengan bulat a ditambahkan dari lawan bilangan bulat, atau dapat ditulis  a - b = a + (-b)

Pengurangan bilangan cacah tidak bersifat tertutup, artinya bila suatu bilangan cacah dikurungkan dengan bilangan cacah yang lain, hasilnya belum tentu bilangan cacah. Pengurangan bilangan cacah (a - b) menghasilkan bulangan cacah hanya jika ab. Tetapi, pengurangan bilangan bulat memiliki sifat tertutup. Secara lengkap sifat-sifat pengurangan bilangan bulat adalah sebagai berikut :

1.      Untuk sembarang bilangan bulat berlaku :

·         a – b = a + (-b)

·         a – (-b) = a + b

Contoh:          

8 – 5 = 8 + (-5) = 3

7 – (-4) = 7 + 4 = 11

2.      Sifat Komutatif dan asosiatif tidak berlaku

·         a – b ≠ b – a

·         (a – b ) – c ≠ a – ( b – c )

Contoh :

7 – 3 ≠ 3 -7 􀃆 4 ≠ - 4

(9 – 4) – 3 ≠ 9 – (4-3) 􀃆 2 ≠ 8

3.      Pengurangan bilangan nol mempunyai sifat :

a – 0 = a dan 0 – a = -a

4.      Bersifat tertutup, yaitu bila dua buah bilangan bulat dikurangkan hasilnya adalah bilangan bulat juga : a dan b ∈ bilangan bulat maka a - b = c ; c ∈ bilangan bulat.

Contoh :

7 - 8 = -1 à 7, 8, -1 ∈ bilangan bulat

b)     Teorema Pengurangan Bilangan  Bulat

·         a – (-b) = a + b untuk sebarang bilangan bulat a dan b

Bukti ;

ambil bilangan bulat a dan b

a – (-b) = a + (-(-b)      defenisi pngurangan

= a + b             teorema penjumlahan

·         a - b = (a - c) - (b - c) untuk sebarang bilagan bulat a, b, dan c.

bukti :

ambil sebarang bilangan bulat a, b, dan c

a – b    = a + (-b)                     Defenisi Pengurangan

                        = ((a + (-b)) + 0                                   Identitas Tambahan

                        = a + (- ) + c + (-c)                  Invers Tambahan

                        =(a + (-c)) + ((-b) + c)             Asosiatif Tambah

                        = (a + (-c)) + ((-b) + (-(-c)))     Teorema Dalam Penjumlahan

                        = (a + (-c)) + (-(b + (-c)))         Teorema Dalam Penjumlahan

                        = (a-c) - (b + (-c))                    Defenisi pengurangan

                        = (a-c) - (b-c)                           Defenisi pengurangan

D.    PERKALIAN BILANGAN BULAT

a)      Sifat-sifat Perkalian Bilangan Bulat

1.      Untuk sembarang bilangan bulat berlaku :

·         a x b = ab à hasil perkalian dua bilangan bulat positif adalah bilangan bulat positif.

Contoh: 7 x 6 = 6 x 7 = 42

·         a x –b = -ab à hasil pekalian bilangan bulat positif dan negatif hasilnya adalah bilangan bulat negatif.

Contoh : 3 x -4 = -12

·         -a x -b = ab à hasil perkalian dua bilangan negatif adalah bilangan bulat positif.

Contoh : -4 x -5 = 20

2.      Sifat Asosiatif : (a x b) x c = a x (b x c)

Contoh: (2 x 3) x 4 = 2 x (3 x 4) = 24

3.      Sifat Komutatif : a x b = b x a

Contoh : 5 x 4 = 4 x 5 = 20

4.      Sifat Distributif : a x (b+c) = (a x b ) + (a x c)

Contoh : 3 x ( 2 +6) = (3 x 2) + (3 x 6) = 24

5.      Unsur Identitas Untuk Perkalian

·         Hasil perkalian bilangan bulat dengan nol hasilnya adalah bilangan nol : a x 0 = 0

·         Hasil perkalian bilangan bulat dengan 1 hasilnya adalah bilangan bulat itu juga : a x 1 = 1 x a = a

6.      Bersifat Tertutup

Jika dua bilangan bulat dikalikan maka hasilnya adalah bilangan bulat juga a x b = c ; a, b, c ∈ bilangan bulat

b)     Teorema Perkalian Bilangan Bulat

·         Jika a, b, dan c angggota himpunman bilangan bulat Z dan a = b maka       a x c = b x c

Bukti :

                  ambil a, b, dan c di Z

1.      (a x c ) Z                  sifat tertutup

2.      a x c = a x c                 sifat refleksi

3.      a = b                            diberikan

4.      a x c = b x c                 substitusi 3 ke 2

·         Jika a, b, dan c anggota himpunam bilanga bulat Z maka           

(a + b) x c = (a x c) + (b x c)

Bukti :

Ambil a, b, dan c di Z

1.      (a + b) x c Z

2.      (a + b) x c = c x (a + b)

3.      c x (a + b) = (c x a) + (c x b)

4.      (c x a) = (a x c) dan ((c x b) = (b x c)

5.      (a + b) x c = (a x c) + (b x c)

·         Jika a anggota bilangan bulat  Z  maka a x 0 = 0 dan 0 x a = 0

Bukti :

Ambil a, b, dan c di Z.

1). a = a

2). 0 = 0 + 0

3). a x 0 = a x (0 + 0)

 4). a x 0 = (a x 0) + (a x 0)

5). 0 + (a x 0) = (a x 0)

6). 0 + (a x 0) = (a x 0) + (a x 0)

7). 0 = (a x 0)

8). (a x 0) = 0

9). (0 x a) = 0

Berikut akan diperlihatkan bagaimana memberi makna perkalian dua bilangan bulat yang satu negatif dan lainnya positif. Misalkan a dan b adalah bilangan cacah, maka a bilangan bulat positif dan (-b) bilangan bulat negatif. Akan diperlihatkan bahwa a x (-b) = -(a x b).

Bukti :

1.      a x (b + (-b)) = a x 0

2.      (a x b) + (a x (-b)) = 0

3.      (a x (-b)) + (a x b) = 0

4.      ((a x (-b)) + (a x b)) + (-(a x b)) = 0 + (- (a x b))

5.      (a x (-b)) + ((a x b) + (-a(a x b))) = - (a x b)

6.      a x (-b) + 0 = - (a x b)

7.      a x (-b) = - (a x b)

Mengingat sifat komutatif pada perkalian bilangan bulat, maka :

8.      (-a) x b = b x (-a)

9.      = – (b x a)

10.  = -(a x b)

·         Buktikan bahwa (-a)(b + (-c)) = ac – ab.

Bukti  :

(-a)(b + (-c))

=  (-a)(b) + (-a)(-c) sifat distributif perkalian penjumlahan

=  (-(ab)) + ac perkalian bilangan bulat (-a) x b = -ab dan (-a) x (-c) = ac

=  ac + (-(ab)) sifat komutatif perkalian

= ac – ab penjumlahan 2 bilangan bulat (misal : a + (-b) = a – b)

Jadi terbukti bahwa (-a)(b + (-c)) = ac – ab.

E.     PEMBAGIAN BILANGAN BULAT

a)      Sifat-sifat Pembagian Bilangan Bulat

Jika  a, b, dan c bilangan bulat dengan b  0, maka  a ÷ b = c jika dan hanya jika a = b x c.

Hasil bagi bilangan bulat (a ÷ b)  merupakan suatu bilangan bulat jika dan hanya jika a kelipatan dari b, sehingga untuk setiap bilangan bulat a dan b hasil bagi (a ÷ b) tidak selalu merupakan bilangan bulat. Karena itu, pembagian bilangan bulat tidak bersifat tertutup. Sifat-sifat pembagian bilangan bulat adalah sebagai berikut :

1.      Hasil bagi dua bilangan bulat positif adalah bilangan positif

(+) ÷ (+) = (+)

Contoh : 8 ÷ 2 = 4

2.      Hasil bagi dua bilangan bulat negatif adalah bilangan positif

(-) ÷ (-) = (+)

Contoh : -10 : -5 = 2

3.      Hasil bagi dua bilangan bulat yang berbeda adalah bilangan negatif

(+) ÷ (-) = (-)

(-) ÷ (+) = (-)

Contoh :    6 ÷-2 = -3

-12 ÷ 3 = -4

4.      Hasil bagi bilangan bulat dengan 0 (nol) adalah tidak terdefinisi

a ÷ 0 à tidak terdefinisi (~)

0 ÷ a à 0 (nol)

Contoh :  = ~ (Tidak terdefinisi)

5.      Tidak berlaku sifat komutatif dan asosiatif

a ÷ b ≠ b : a

(a ÷ b) ÷ c ≠ a ÷ (b ÷ c)

Contoh :    4 ÷ 2 ≠ 2 ÷ 4 à 2 ≠

(8 ÷ 2) ÷ 4 ≠ 8 ÷ (2 ÷ 4) à 1 ≠ 16

b)     Teorema Pembagian Bilangan Bulat

·         Mengingat bahwa (-a) x (b)= (a) x (-b)  = -(ab) dan berdasarkan defnisi pembagian, kita dapat mengemukakan sifat berikut :

1.      –(ab) ÷ a = (-b)                 

2.      –(ab) ÷  b = (-a)

3.      -(ab) ÷  (-a) = b

4.      -(ab) ÷  (-b) = a

Demikian pula karena (-a) x (-b) = a x b maka:

5.      ab ÷ (-a) = (-b)

6.       ab ÷ (-b) = (-a)

·         Buktikan bahwa (-a)(b + (-c)) = ac – ab.

Bukti :

(-a)(b + (-c))

=  (-a)(b) + (-a)(-c) sifat distributif perkalian penjumlahan

=  (-(ab)) + ac perkalian bilangan bulat (-a) x b = -ab dan (-a) x (-c) = ac

=  ac + (-(ab)) sifat komutatif perkalian

=  ac – ab penjumlahan 2 bilangan bulat (misal : a + (-b) = a – b)

Jadi terbukti bahwa (-a)(b + (-c)) = ac – ab.

F.     PEMANGKATAN BILANGAN BULAT

Definisi:

an = a x a x a x … x a

 

Sejumlah n faktor

Contoh :          4³ = 4 x 4 x 4 = 64

3⁵= 3 x 3 x 3 x 3 x 3 = 243

1.      Akar kuadrat (akar pangkat dua)

 = b à ()² =b² à a = b² = b x b

Contoh :

 = ? à = 9²  = 9 x 9 à b = 9

 = ? à   = b² à b = nilainya tidak bulat

             =   =    = 2 

2.      Akar kubik (akar pangkat tiga)

  = b à () ³ = b³ = b x b x b

Contoh :

= ? à = 3³ = 3 x 3 x 3 à b = 3

= ? à =  x = 3

G.    URUTAN BILANGAN BULAT

Berikut ini , kita akan mempelajari relasi urutan bilangan-bilangan bulat. Ada beberapa definisi yaitu :

1.      Jika a dan b bilangan-bilangan bulat, a lebih kecil dari b (dinyatakan dengan a < b) jika dan hanya jika ada bilangan bulat positif c sedemikian hingga a + c = b

2.      Jika a dan b bilangan-bilangan bulat, a lebih besar dari b (dinyatakan dengan a > b) jika dan hanya jika b < a atau b + c = a untuk suatu bilangan positif c.

Urutan bilangan-bilangan bulat ini akan tampak jelas pada garis bilangan berikut.

Pada garis bilangan, a < b ditunjukkan bahwa titik yang menyatakan a berada di sebelah kiri titik yang menyatakan b. Misalkan (-4) < (-1), terlihat pada garis bilangan itu bahwa titik yang menyatakan (-4) berada di sebelah kiri dari titik yang rnenyatakan (-1). Kita telah mempelajari bahwa jika a dan b bilangan-bilangan cacah, maka berlaku tepat satu relasi di antara a < b,  a = b dan a > b yang terkenal sebagai sifat trikotomi.

Apakah sifat trikotomi berlaku pada bilangan-bilangan bulat?Coba selidiki pula bahwa relasi "lebih kecil dari" pada bilangan-bilangan bulat berlaku sifat-sifat irrefleksif, asimetris dan transitif! Demikian pula, Anda dengan mudah dapat membuktikan kebenaran pernyataan-pernyataan berikut.

Apabila a, b, c, dan b bilangan-bilangan bulat pernyataan berikut bernilai benar :

1)      a = b maka a + c = b + c

2)      a = b maka a x c = b x c

3)      a = b dan a = d maka a +c = b + d

4)      a + c = b + c maka a = b

5)      a x c = b x c dengan c ≠ 0 maka a = b.

Pembuktian Sifat-sifat itu adalah sebagai berikut :

Sifat 1

Jika a, b dan c bilangan-bilangan bulat, maka a < b Jika dan hanya jika       a + c < b + c.

Bukti:

        i.            Dibuktikan jika a < b maka a + c < b + c.

Ambil bilangan bulat a, b, dan c,untuk penyerhanaan symbol Z⁺ menyatakan himpunan  bilangan bulat posistif.

a < b berarti ada bilangan bulat positif k sedemikian hingga

a + k = b definisi "lebih kecil dari"

(a + k) + c = b + c sifat penjumlahan pada kesamaan

a + (k + c) = b + c sifat asosiatif penjumlahan

a + (c + k) = b + c sifat komutatif penjumlahan

(a + c) + k = b + c sifat asosiatif penjumlahan

      ii.            Dibuktikan, jika a + c < b + c maka a < b.

Ambil bilangan bulat a, b dan c.

a + c < b + c berarti ada bilangan bulat positif p sedemikian hingga

(a + c) + p = b + c definisi "lebih kecil dari"

a + (c + p) = b + c sifat asosiatif penjumlahan

a + (p + c) = b + c sifat komutatif penjumlahan

(a + p) + c = b + c sifat asosiatif penjumlahan

{(a + p) + c} + (-c) _ (b + c) + (-c) sifat penjumlahan pada kesamaan

(a + p) + (c + (-c)) = b + (c + (-c)) sifat asosiatif

(a + p) + 0 = b+ 0 invers penjumlahan

a + p = b.

a < b definisi "lebih kecil dari"

Dari (i) dan (ii) terbuktilah bahwa a< b jika dan hanya jika a + c < b + c

Perhatikan jika a + c < b + c maka a < b belum dapat dibuktikan apabila a, b dan c bilanganbilangan cacah (Mengapa?).

Sifat 2.

Jika a dan b bilangan-bilangan bulat dan c bilangan bulat positif serta a < b maka a x c < b x c.

Bukti:

Ambil bilangan bualat a dan b serta bilangan bulat positif c.

a < b berarti  k  Z⁺ a + k = b defenisi lebih kecil dari

( a + k) x c = b x c teorema 3.6

( a x c) + ( k x c) = b x c

a x c < b x c defenisi “lebih kecil dari “, karena ( k x c ) elemen z^-+

konvers dari sifat 2 juga benar, seperti di jelaskan pada sifat 3.

Sifat 3.

Jika a dan b bilangan-bilangan bulat dan c bilangan bulat positif serta a x c < b x c maka a < b.

Bukti:

ambil bilangan bulat a dan b serta bilangan bulat positif c.

Diberikan a x c < b x c

a x c < b x c

(a x c) + (-(b x c)) < (b X c) + (-(b x c))

(a x c) + (-b)) x c < 0

(a + (-b)) + b< 0 + b

a + ((-b) + b) < b

a <b

Sifat 4

Jika a dan b bilangan bilangan bulat dan c bilangan bulat negatif serta a < b maka a x b > b x c

Bukti:

a < b berarti ada bilangan bulat positif k sedemikian hingga a + k = b definisi "lebih kecil dari"

(a + k) x c = b x c sifat perkalian pada kesamaan

(a x c)+ (k x c) = b x c sifat distributive perkalian terhadap penjumlahan

Karena k bilangan bulat positif dan c bilangan bulat negatif, maka (k x c) suatu bilangan bulat negatif,

sehingga (k x c) bilangan bulat positif.

{(a x c) + (k x c)} + ( -(k x c)) = (b x c) + (-(k x c)

Sifat penjumlahan pada kesamaan

(a x c) + {(k x c) + (-(k x c))} = (b x c) + (-(k x c))

Sifat asosiatif penjumlahan

(a x c) +0 = (b x c) + (-(k x c)= invers penjumlahan

(a x c) = (b x c) + (-(k x c)) Karena (-(k x c)) bilangan positif, maka

a x c > b x c Definisi “lebih kecil dari “.

BAB III

PENUTUP

A.    KESIMPULAN

Himpuanan bilangan bulat adalah gabungan dari himpunan bilangan cacah dan himpunan bilangan bulat negatif.Sifat – sifat pada bilangan bulat adalah sifat tertutup, sifat kmutatif, sifat asosiatif, sifat distributive dan adapula unsur identitas penjumlahan dan perkalian. Operasi-operasi pada bilangan bulat yaitu operasi penjumlahan, pengurangan, perkalian dan pembagian

definisi relasi “lebih kecil dari” pada bilangan-bilangan cacah, dan telah membuktikan sifat-sifatnya. Berikut ini , kita akan mempelajari relasi urutan bilangan-bilangan bulat. Ada beberapa definisi yaitu :

1. Jika a dan b bilangan-bilangan bulat, a lebih kecil dari b (dinyatakan dengan a

2. Jika a dan b bilangan-bilangan bulat , a lebih besar dari b ( di nyatakan dengan a > b ) bila dan hanya bila b

B. SARAN

Sebagai calon pendidik di bdang Matematika, hendaknya kita  dapat mengetahui tentang teori bilangan teutama mengenai sifat dan operasi bilangan bulat serta urutan bilangan bulat dalam garis bilangan. Sehingga dengan begitu sebagai calon pendidik  tahu secara umum mengenai teori bilangan

DAFTAR PUSTAKA

Astuty, B. (2009). Ayo Belajar Matematika. Jakarta: Departemen Pendidikan Nasional.

http://articlesgenius.wordpress.com/2013/03/16/macam-macam-bilangan-dalam-matematika/ www.scribd.com (di akses Rabu,12 November 2014)

http://septianari.blogdetik.com/ (di akses Rabu,12 November 2014)

WWW.BELAJAR-MATEMATIKA.COM  (di akses Rabu,12 November 2014)