KEKONGRUENAN BILANGAN BULAT

KATA PENGANTAR

Alhamdulillah segala puji dan syukur kita panjatkan kehadirat Allah SWT  atas segala rahmat dan karunianya sehingga penulisan makalah ini dapat terselesaikan dengan tepat waktu. Salam dan shalawat semoga tetap tercurah kepada Nabi Muhammad SAW sebagai tauladan dan panutan dalam kehidupan.

Penulisan makalah ini tidak terlepas dari bantuan berbagai pihak. Oleh karena itu, kami sebagai penulis mengucapkan terima kasih  kepada  semua pihak yang telah membantu dalam penyusunan makalah ini hingga selesai.

Makalah ini disusun berdasarkan sumber-sumber yang ada namun kami yakin dengan segala kekurangan dan keterbatasan kami, maka didalamnya masih banyak terdapat kekurangan baik dari segi penulisan, tata bahasa, dan penyusunan. Oleh karena itu, kritik, saran dan sumbangan pemikiran yang sifatnya membangun sangat diharapkan.  Kami juga sangat berharap semoga makalah ini dapat memberikan manfaat kepada kita smua, baik kami sebagai penulis pribadi pada khususnya dan kepada pembaca pada umumnya.

                                                                       

 Makassar, November 2014

 Penulis

BAB I

PENDAHULUAN

A.    Latar Belakang

Konsep dan sifat keterbagian dapat dipelajari secara lebih mendalam dengan relasi kekongruenan. Dengan menggunakan konsep kekongruenan, kita dapat menelaah sifat keterbagian secara luas dan mendalam sehingga lebih nampak manfatnya. Namun, untuk mempelajari kekongruenan dan sifatnya diperlukan juga penguasaan konsep dan sifat keterbagian. Dengan konsep kekongruenan, kita lebih mudah dan cepat untuk menentukan sisa beberapa pembagian bilangan bulat.

Dengan adanya pemikiran-pemikiran seperti ini, maka terdoronglah kami untuk menyusun sebuah makalah yang berjudul kekongruenan agar kita sebagai mahasiswa matematika dapat dengan mudah mempelajari dan memahami materi kekongruenan. Beberapa kegunaan kekongruenan dibahas dalam makalah ini, misalnya untuk menjelaskan ciri terbagi habis dari beberapa bilangan, koreksi sembilan yaitu menguji kebenaran suatu hasil penjumlahan, pengurangan, perkalian, dan pembagian bilangan bulat.

B.     Rumusan Masalah

Adapun Rumusan masalah dari makalah ini adalah :

1.      Bagaimana kekongruenan bilangan bulat?

2.      Apa pengaplikasian kekongruenan dalam kehidupan sehari-hari?

3.      Apakah definisi perkongruenan linear dan bagaimana aplikasinya?

4.      Bagaimana ciri-ciri habis dibagi pada bilangan bulat positif?

C.    Tujuan

Tujuan ditulisnya makalah ini adalah :

1.      Untuk mengetahui kekongruenan bilangan bulat.

2.      Untuk mengetahui pengaplikasian kekongruenan dalam kehidupan sehari-hari.

3.      Untuk mengetahui defenisi dari perkongruenan linear dan aplikasinya.

4.      Untuk mengetahui ciri-ciri habis dibagi pada bilangan bulat positif.

BAB II

PEMBAHASAN

A.    Kekongruenan Bilangan Bulat

Definisi 1:                                       

Jika m suatu bilangan positif maka a kongruen dengan modulo m (ditulis a ≡ b (mod m)) jika dan hanya jika m membagi (a-b) atau ditulis m | (a-b). Jika m tidak membagi (a-b) maka dikatakan a tidak kongruen dengan b modulo m.

(Tiro dkk, 2008: 264)

Contoh :

a.       8 ≡ 4 (mod 2) sebab 2 | (8-4) atau 2 | 4

b.      14 ≡ -7 (mod 3) sebab 3 | (14-(-7) atau 3 | 21

c.       12 tidak kongruen 6 (mod 4) sebab 4 ł (12-6) atau 4 ł 6

Definisi 1 dapat ditulis sebagai berikut : jika m>0 dan m | (a-b) maka ada bilangan bulat k sedemikian sehingga (a-b) = mk. Dengan demikian  a ≡ b (mod m) dapat dinyatakan sebagai selisih antara a dan b merupakan kalipatan m atau a-b =  mk. Tetapi, kerena a – b = mk sama atrinya dengan a=mk+b yaitu a sama dengan b ditambah kelipatan m, maka defenisi 1 dapat dinyatakan sebagai berikut :

a ≡ b (mod m) jika dan hanya jika ada bilangan bulat k sedemikian sehingga a=mk+b.

Contoh :

a.       17 ≡ 2 (mod 5) sama artinya dengan 17 = 5(3)+2

b.      26 ≡ 4 (mod 11) sama artinya dengan 26 = 11(2)+4

Teorema 1 :

Setiap bilangan bulat kongruen modulo m dapat tepat satu diantara 0,1,2,3,...(m-1).

Bukti :

a ≡ b (mod m) jika dan hanya jika ada bilangan bulat k sehingga a=mk+b. Jika a dan m bilangan bulat dan m>0, maka ia dinyatakan sebagai a=mq+r dengan 0 ≤ r < m. Ini berarti bahwa a-r=mq, yaitu a ≡ r (mod m). Karena 0 ≤ r < m, maka ada m buah pilihan untuk r, yaitu 0,1,2,3....,(m-1). Jadi setiap bilangan bulat akan kongruen modulo m dengan tepat satu diantara 0,1,2,3,....,(m-1).

Definisi 2 :

Pada a ≡ r(mod m) dengan 0 ≤ r < m, r disebut sisian terkecil dari amodulo m. Untuk kekongruenan ini , {0,1,2,3,...,(m-1)} disebut himpunan sisian positif terkecil modulo m.

(Tiro dkk, 2008: 265)

Contoh :

a.       12 ≡ 2 (mod 5) karena 2 adalah sisian terkecil dari 12 modulo 5

b.      71 ≡ 1 (mod 2)  karena 1 adalah sisian terkecil dari 71 modulo 2

c.       {0,1,2} adalah himpunan sisaan terkecil modulo 3

d.      {0,1,2,3,4} adalah himpunan sisaan modulo 5

Kita dapat melihat relasi kekongruenan itu dengan cara lain, seperti pada teorema berikut :

Teorema 2 :

a ≡ b (mod m) jika dan hanya jika a dan b memiliki sisa yang sama jika dibagi m.

Bukti :

Pertama, akan dibuktikan bahwa jika a ≡ b (mod m) maka a dan b memiliki sisa yang sama jika dibagi m.

Andaikan a ≡ b (mod m) maka a ≡ r (mod m) dan b ≡ r (mod m) dengan r adalah sisaan terkecil modulo m atau 0 ≤ r < m. Kerena a ≡ r (mod m) berarti a=mq+r untuk suatu q. Demikian juga, b ≡ r (mod m) berarti b=mt+r untuk suatu t. Ini berarti a dan b memiliki sisa yang sma yaitu r, jika di bagi m.

Kedua, akan dibuktikan bahwa jika a dan b memiliki sisa yang sama jika dibagi m, maka a ≡ b (mod m). Misalkan a memiliki sisa r jika dibagi m, berarti a=mq+r dan b memiliki sisa r jika dibagi m, yang berarti b=mt+r. Dari kedua persamaan diperoleh bahwa a-b=m(q-t) berarti m | (a-b) atau a ≡ b (mod m).

Perhatikan bahwa berdasarkan teorema yang telah dibahas, ungkapan berikut mempunyai arti yang sama, yaitu “n ≡ 7 (mod 8)”, “n=7+8k untuksuatu bilangan bulat k” dan “n dibagi 8 tersisa 7”.

Contoh :

“10 ≡ (mod 4)” mempunyai arti yang sama dengan “10 = 4k+2 untuk suatu bilangan bulat k = 2” dan “10 dibagi 4 bersisa 2”.

Definisi 3 :

Himpunan bilangan bulat r₁,r_2,r_3,.....,r_m disebut sistem sisaan lengkap modulo m jika dan hanya jika setiap bilangan bulat adalah kongruen modulo m dengan satu dan hanya satu diantara r₁,r_2,r_3,.....,atau r_m.

(Tiro dkk, 2008: 267)

Contoh :

a.       {45, -9, 12, -22, 24} adalah suatu sistem sisaan lengkap modulo 5 karena 45 ≡ 0 (mod 5), -9 ≡ 1 (mod 5), 12 ≡ 2 (mod 5), -22 ≡ 3 (mod 5), dan 24 ≡ 4 (mod 5).

b.      {0,1,2,3,4} juga merupakan suatu sistem sisaan lengkap modulo 5, sekaligus sebagai himpunan sisaan terkecil modulo 5.

c.       {11,12,13,14,15} adalah suatu sistem sisaan lengkap modulo 5 karena 11 ≡ 1 (mod 5), 12 ≡ 2 (mod 5), 13 ≡ 3 (mod 5), 14 ≡ 4 (mod 5), dan 15 ≡ 5 (mod 5).

Pada a ≡ r (mod m), contoh diatas menunjukkan ada tidak hingga banyaknya sistem sisaan lengkap modulo m.

Kekongruenan modulo suatu bilangan bulat positif adalah memadankan suatu bilangan bulat a dengan satu bilangan bulat lain b. Karena merupakan pemadanan, maka kekongruenan modulo merupakan suatu relasi. Dapat ditunjukkan bahwa relasi kekongruenan itu sebagai relasi ekuivalen, seperti halnya relasi kesamaan. Kita mengingatkan bahwa suatu relasi R disebut relasi ekuivalen atas suatu himpunan bilangan A jika relasi itu memiliki sifat refleksi, sifat simetris, dan sifat transitif.

1.    Sifat refleksi : aRa, suatu bilangan a memiliki relasi R terhadap bilangan a itu sendiri

2.    Sifat simetris : aRb jika dan hanya jika bRa

3.    Sifat transitif : aRb dan bRc berakibat aRc

Kekongruenan modulo suatu bilangan bulat positif m adalah suatu relasi ekuifalen pada himpunan bilangan bulat dan teoremanya diberikan sebagai berikut:

Teorema 3 :

Untuk m bilangan bulat positif dan a, b, dan c bilangan bulat, berlaku :

(1)                Sifat refleksi : a ≡ a (mod m)

(2)                Sifat simetris : a ≡ b (mod m) jika dan hanya jika b ≡ a (mod m)

(3)                Sifat transitif : jika a ≡ b (mod m) dan b ≡ c (mod m) maka a ≡ c (mod m)

Bukti :

(1)     Karena m | 0 maka m | (a-a), sehingga menurut definisi 1 a ≡ a (mod m)

(2)     Jika a ≡ b (mod m) maka menurut definisi 1 m | (a-b). Menurut definisi keterbagian m | (a-b) berarti ada t elemen z sedemikian sehingga a-b = mt jika dan hanya jika b-a = m(-t) dengan –t elemen z, sehingga sesuai dengan definisi keterbagian diperoleh m | (b-a). Karena m | (b-a) maka b ≡ a (mod m).

(3)     Jika a ≡ b (mod m) dan b ≡ c (mod m), maka menurut definisi 1 m | (a-b) dan m | (b-c) maka m | {(a-b) + (b-c)} atau m | (a-c), sehingga a ≡ c (mod m).

Teorema 4

Jika a ≡ b (mod m) dan c ≡ d (mod m) maka {a ± c} ≡ {b ± d } (mod m)

Bukti :

Karena a ≡ b (mod m) berarti a = ms+b untuk suatu bilangan bulat s. Demikian juga, c ≡ d (mod m) berarti c = mt+d untuk suatu bilangan bulat t. Apabila kedua persamaan ini ditambahkan atau dikurangkan diperoleh :

a ± c = (ms+b) ± (mt+d) ó a ± c = m (s±t) + (b±d)

                                                    ó (a±c) - (b±d) = m (s±t).

Ini berarti a±c ≡ {b±d}(mod)

Teorema 5

Jika a ≡ b (mod m) dan c ≡ d (mod m) maka untuk x dan y bilangan bulat (ax+cy) ≡ (bx+dy) (mod m).

Bukti :

Asumsikan a ≡ b (mod m) berarti a = ms+b untuk suatu bilangan bulat s. Demikian juga, c ≡ d (mod m) berarti c = mt+d untuk suatu bilangan bulat t. Jika kedua ruas persamaan pertama dikalikan x dan kedua ruas persamaan kedua dikalikan y diperoleh : ax = msx+bx dan cy = mty+dy. Dengan penjumlahan, dari kedua persamaan ini diperoleh :

ax+cy = (msx+bx)+(mty+dy) =>  ax+cy = m(sx+ty)+(bx+dy)

ð  (ax+cy) – (bx+dy) = m(sx+ty)

Ini berarti bahwa m | {(ax+cy)-(bx+dy)} atau ax+cy ≡ (bx+dy)(mod m).

Teorema 6 :

Jika a ≡ b (mod m) dan c ≡ d (mod m) maka ac ≡ bd (mod m).

Bukti :

Asumsikan a ≡ b (mod m) dan c ≡ d (mod m), menurut definisi 1 m | (a-b) dan m | (c-d). Ini berarti ada s elemen Z, sehingga (a-b) = ms atau a=ms+b dan ada t elemen Z, sedemikian sehingga (c-d) = mt atau c = mt+d. Jika kedua persamaan ini dikalikan, diperoleh ac = (ms+b)(mt+d) ó ac = bd+m(ms+sd+bt).

Ini berarti ac ≡ bd (mod m).

Teorema 7 :

Jika a ≡ b (mod m) maka ka ≡ kb (mod m) untuk suatu k bilangan bulat sebarang.

Bukti :

Ambil a ≡ b (mod m) maka menurut definisi 1 m | (a-b). Karena m | (a-b), menurut teorema keterbagian m | k(a-b) atau m | (ka-kb) untuk sebarang k elemen Z. Sesuai definisi 1 ini berarti ka ≡ kb (mod m).

Teorema 8 :

jika a ≡ b (mod m) maka ka ≡ kd (mod km) untuk suatu k bilangan bulat sebarang.

Bukti :

Asumsikan a ≡ b (mod m), menurut definisi 1 m | (a-b), yang berarti ada x elemen Z sehingga (a-b)=mx atau k(a-b)=kmx atau ka-kb=(km)x. Menurut definisi keterbagian, ini berarti km | (ka-kb), sesuai definisi1 ka ≡ kb (mod km).

Teorema 9 :

Jika a ≡ b (mod m) dan n | m maka a ≡ b (mod n) untuk a, b, dan n elemen Z

Bukti :

Asumsikan a ≡ b (mod m), menurut definisi 1 m | (a-b). Karena n | m dan m | (a-b) maka menurut teorema keterbagian n | (a-b) maka menurut teorema keterbagian n | (a-b), sehingga menurut definisi 1 a ≡ b (mod n).

Teorema 10 :

Jika a ≡ b (mod m) maka aⁿ ≡ bⁿ  (mod m) untuk n bilangan bulat positif.

Teorema berikut ini penting karena menghubungkan konsep kekongruenan dengan konsep penyelesaian polinom khusus.

Teorema 11:

Andaikan f suatu polinom dengan koefisien bilangan bulat, yaitu f(x) = d₀xⁿ+d₁x^n-1+d₂x^n-2+.....+d^n-1x+d_n, dengan d₀,d_1,d₂,....,d_n masing-masing bilangan bulat. Jika a ≡ b (mod m) maka f(a) ≡ f(b) (mod m).

Bukti :

Gunakan teorema 10 “Jika a ≡ b (mod m) maka aⁿ ≡ bⁿ  (mod m) untuk n bilangan bulat positif”. Karena a ≡ b (mod m) maka a² ≡ b² (mod m)demikian juga a³ ≡ b³ (mod m) dan seterusnya aⁿ ≡ bⁿ (mod m). Berdasarkan teorema 8 : diperoleh hasil d₁a^n-1 ≡ d₁b^n-1 (mod m) dan seterusnya menurun pangkatnya sehingga d_n-1b (mod m), sedangkan d_n ≡ d_n (mod m).

Sekarang, kita gunakan teorema 4 : “Jika a ≡ b (mod m) dan c ≡ d (mod m) maka {a ± c} ≡ {b ± d } (mod m)”, sehingga diperoleh : d₀aⁿ+d₁a^n-1+d₂a^n-2+...+d_n-1ba+d_n ≡ (d₀bⁿ+d₁b^n-1+.....+d_n-1b+d_n) (mod m). Jadi, f(a) ≡ f(b) (mod m).

Jika a penyelesaian polinom f(x) dengan koefisien bilangan bulat sedangkan a ≡ b (mod m) maka b menjadi penyelesaian f(x) untuk modulo m.

Teorema 12 :

Jika a suatu penyelesaian f(x) ≡ 0 (mod m) dan a ≡ b (mod m) maka b juga penyelesaian f(x) itu.

Bukti :

Dari teorema 11,  f(a) ≡ f(b) (mod m). Jika a penyelesaian f(x) ≡ 0 (mod m) maka f(a) ≡ 0 (mod m). Akibatnya f(b) ≡ 0 (mod m) sehingga b penyelesaian f(x) ≡ 0 (mod m).

Dua bilangan bulat a dan b yang kongruen modulo m mungkin dapat juga kongruen modulo suatu bilangan bulat lain. Misalkan d>0 dan d pembagi m dan a ≡ b (mod m). Dengan demikian, m=kd dan a-b=pm sehingga a-b=p(kd)=(pk)d atau d pembagi a-b. Selanjutnya, diperoleh teorema sebagai berikut.

Teorema 13 :

Jika d | m dan a ≡ b (mod m) maka a ≡ b (mod d).

Pada persamaan bilangan bulat berlaku sifat penghapusan sebagai berikut: jika ab ≡ ac dengan a≠0 maka b=c. Apakah dalam kekongruenan berlaku sifat yang mirip dengan sifat penghapusan tersebut? Misalkan, jika ab≡ac(mod m) dengan a tidak kongruen 0 (mod m), apakah b ≡c (mod m)? Untuk menjawab pertanyaan ini, contoh berikut perlu diperhatikan :

18 ≡ 6 (mod 4) sebab 4 | (18-6) atau 4 | 12.

2.9 ≡ 2.3 (mod 4) dan jelas bahwa 2 tidak kongruen 0 (mod 4), tetapi 9 tidak kongruen 3 (mod 4), sebab 4 ł (9-3) atau 4 ł 6. Dalam hal inisifat penghapusan tidak berlaku. Sekarang, diperhatikan kembali :

18 ≡ 6 (mod 4) sebab 4 | (18-6) atau 4 | 12.

3.6 ≡ 3.2 (mod 4) dan jelas bahwa 3 tidak kongruen 0 (mod 4).

6 ≡ 2 (mod 4) sebab 4 | (6-2) atau 4 | 4. Dalam hal ini sifat penghapusan berlaku. Jadi, sifat penghapusan tidak sepenuhnya berlaku pada relasi kekongruenan, tetapi akan berlaku dengan suatu syarat seperti dinyatakan dalam teorema berikut.

Teorema 14 :

Jika ac ≡ bc (mod m) dan (c,m)=1 maka a ≡ b (mod m).

Bukti :

Karena ac ≡ bc (mod m) berarti m | (ac-bc) atau m | c(a-b). Dari m | c(a-b) dan (c,m)=1 diperoleh m | (a-b) berarti a ≡ b (mod m). Jadi, kita dapat menghapus suatu faktor dalam kekongruenan, jika faktor tersebut dan bilangan modulonya saling prima. Tetapi, jika faktor dan modulonya tidak saling prima, kita harus mengganti bilangan modulonya dalam teorema berikut.

Teorema 15 :

Andaikan (c,m)=d, ac ≡ bc (mod m) jika dan hanya jika a ≡ b(mod).

Bukti :

Pertama. Akan dibuktikan bahwa jika ac ≡ bc (mod m) dan (c,m) = d maka a ≡ b(mod). Karena ac ≡ bc (mod m) berarti m | (ac-bc) atau m | c(a-b), yang berarti ada z bilangan bulat sehingga c(a-b)=mz. Selanjutnya, (c,m)=d berarti ada r dan s sehingga c=rd dan m=sd. Dengan demikian, c(a-b)=mz menjadi rd(a-b)=sdz atau r(a-b)=sz. Jadi, s | r(a-b). Dari (c,m)=d berarti () = 1 atau (r,s)=1. Akibatnya, s |  (a-b) artinya a ≡ b (mod s) atau a ≡ b (mod).

Kedua. Akan dibuktikan bahwa jika a ≡ b (mod) dan (c,m)=d maka ac ≡ bc (mod m). Karena a ≡ b (mod) berarti  | (a-b), sehingga ada t elemen Z yang memenuhi kesamaan a-b=t..

Sekarang, (a-b) d=mt atau (a-b)dr=mtr, dan karena c=rd maka (a-b)c=m(tr) berarti m | c(a-b) atau m | (ac-bc). Ini berarti ac ≡ bc (mod m).

Dari pertama dan kedua dapat disimpulkan bahwa andaikan (c,m)=d, ac≡ bc (mod m) jika dan hanya jika (c,m)=d, maka a ≡ b (mod).

Contoh :

Tentuka x yang memenuhi 4x ≡ 8 (mod 12)!

Penyelesaian :

Diketahui 4x ≡ 8 (mod 12) = 4x ≡ 4.2 (mod 12). Karena (4,12) =4 maka berdasarkan teorema 15, x ≡ 2 (mod ) atau x ≡ 2 (mod 3). Jadi, nilai-nilai x adalah (3k+2) untuk setiap bilangan bulat k.

B.     Aplikasi Kekongruenan

Kekongruenan bilangan bulat yang sering di aplikasikan adalah kekongruenan madulo 9. Kekongruenan modulo 9 dapat digunakan untuk memeriksa kebenaran terhadap operasi aritmetika yaitu penjumlahan, pengurangan, perkalian, dan pembagian pada bilangan bulat. Perhatikan penjelasan berikut ini :

Misalnya, diketahui bahwa :

10.000-1 = 9.999 = 9 k₄ sehingga 10.000 = 1(mod 9)

  1.000-1 =    999 = 9 k₃ sehingga   1.000 = 1(mod 9)

     100-1 =      99 = 9 k₂ sehingga      100 = 1(mod 9)

       10-1 =        9 = 9 k₁ sehingga        10 = 1(mod 9)

Berikut menunjukkan bahwa setiap bilangan bulat kongruen modulo 9 dengan jumlah angka-angkanya.

Contoh  :

12345  ≡ {10000 + 2000 + 300 + 40 + 5} (mod 9)

            ≡ {1(10000)+ 2(1000) + 3(100) + 4(10) + 5} (mod 9)

            ≡ {1(1) + 2(1) + 3(1) + 4(1) + 5} (mod 9)

            ≡ 15 (mod 9)

selanjutnya dengan cara yang sama

15 ≡ {10 + 5} (mod 9)

     ≡ {1 + 5} (mod 9)

     ≡ 6 (mod 9)

Jadi 12345 ≡ 6 (mod 9)

Berdasarkan penjelasan yang telah diuraikan di atas, maka dapat diturunkan menjadi teorema sebagai berikut.

Teorema 1 :

10ⁿ ≡ 1 (mod 9), untuk setiap n = 1, 2, 3, …

Bukti :

10ⁿ – 1 = 999 … 9 (sebanyak n kali, dengan syarat semua angkanya 9)

10ⁿ = 1 (mod 9)

Teorema 2 :

Setiap bilangan bulat kongruen modulo 9 dengan jumlah angka-angkanya.

Bukti :

Ambil sebarang bilangan bulat n dan angka-angkanya secara berurutan:

n = d_kd_k-1d_k-2.....d₂d₁d₀ dan n = d_k10^k+d_k-110^k-1+d_k-210^k-2+.....+d₂10²+d₁10+d₀. Menurut teorema 1 bahwa 10ⁿ ≡ 1 (mod 9), untuk setiap n = 1, 2, 3, …, sehingga

n = {d_k(1)+d_k-1(1)+d_k-2(1)+.....+d₂(1)+d₁(1)+d₀}(mod 9). Jadi, bilangan bulat n kongruen modulo 9 dengan jumlah angka-angkanya.

Pengujian Kebenaran Operasi Aritmetika pada Bilangan Bulat dengan Menggunakan Penerapan Kekongruenan Modulo 9

a.    Penjumlahan

Teorema :

Andaikan a, b, c adalah bilangan bulat dan m bilangan asli. Jika a ≡ b (mod m) dan c ≡ d (mod m), maka a + c ≡ b + d (mod m)

Bukti :

a ≡ b (mod m) berarti m │(a-b)

c ≡ d (mod m) berarti m │(c-d)

selanjutnya,
m │(a-b) dapat dinyatakan (a-b) = tm

m │c-d dapat dinyatakan c-d = t m

sehingga (a+c)–(b+d) = (t+t )m atau a+c ≡ b+d (mod m)

Contoh :

12345 + 67890+24680+13579+12378 = 130872

Penyelesaian :

12345 ≡ 1+2+3+4+5 (mod 9) ≡ 15 (mod 9) ≡ 6 (mod 9)

67890 ≡ 6+7+8+9+0 (mod 9) ≡ 30 (mod 9) ≡ 21 (mod 9) ≡ 12 (mod 9) ≡ 3 (mod 9)

24680 ≡ 2+4+6+8+0 (mod 9) ≡ 20 (mod 9) ≡ 11 (mod 9) ≡ 2 (mod 9)

13579 ≡ 1+3+5+7+9 (mod 9) ≡ 25 (mod 9) ≡ 16 (mod 9) ≡ 7 (mod 9)

12378 ≡ 1+2+3+7+8 (mod 9) ≡ 21 (mod 9) ≡ 12 (mod 9) ≡ 3 (mod 9)

Jadi, 12345+67890+24680+13579+12378 ≡ 6+3+2+7+3 (mod 9)`≡ 21 (mod 9)

≡ 12 (mod 9) ≡ 3 (mod 9) …….. (i)

sedangkan 130872 ≡ 1+3+0+8+7+2 (mod 9) ≡ 21 (mod 9) ≡ 12 (mod 9)

≡ 3 (mod 9) …    (ii)

Dari kekongruenan (i) dan (ii), maka

12345 + 67890 + 24680 + 13579 + 12378 = 130872.

b.   Perkalian

Teorema :

Andaikan a, b, c, d, dan m bilangan asli. Jika a ≡ b (mod m) dan c ≡ d (mod m), maka ac ≡ bd (mod m)

Bukti :

a ≡ b (mod m) berarti m│(a-b)

c ≡ d (mod m) berarti m│(c-d)

selanjutnya,

m│(a-b) dapat dinyatakan (a-b) = tm

(a-b)c = (tm)c => (ac-bc) = (tc)m ………(i)

m│(c-d) dapat dinyatakan (c-d) = tm

(c-d)b = (tm)b => cb-db = (t b)m ……… (ii)

Dari (i) dan (ii) dijumlahkan sehingga akan menghasilkan:

(ac–bc) = (tc)m

(cb-db) = (tb) m+(ac –bd) = (tc+tb) m atau ac ≡ bd (mod m)

Contoh :

12345 x 67890 = 83810250

Penyelesaian :

12345 ≡ 1+2+3+4+5 (mod 9) ≡ 15 (mod 9) ≡ 6 (mod 9)

67890 ≡ 6+7+8+9+0 (mod 9) ≡ 30 (mod 9) ≡ 21 (mod 9) ≡ 12 (mod 9) ≡ 3 (mod 9)

Jadi 12345x67890 ≡ 6x3 (mod 9) ≡ 18 (mod 9) ≡ 9 (mod 9) ≡ 0 (mod 9) …….....(i)

sedangkan 83810250 ≡ 8+3+8+1+0+2+5+0 (mod 9) ≡ 27 (mod 9) ≡ 18 (mod 9)

≡ 9 (mod 9) ≡ 3 (mod 9) ……………(ii)

Dari kekongruenan (i) dan (ii), maka 12345 x 67890 = 83810250

C.    Perkongruenan Linear dan Aplikasinya

1.      Perkongruenan Linear

Perkongruenan merupakan kalimat terbuka yang menggunakan relasi kekongruenan. Perkongruenan linear adalah suatu perkongruenan yang memiliki variabel berpangkat paling tinggi satu. Misalnya : 3x ≡ 4 (mod 5),  2x ≡ 7 (mod 10), dan sebagainya.

Bentuk umum perkongkruenan linear adalah :

ax ≡ b (mod m) dengan a tidak kongkruen dengan 0

Pada pengkongkruenan linear 3x ≡ 4 (mod 5), apabila x diganti dengan 3 memberikan 3.3 ≡ 4 (mod 5) atau 9 ≡ 4 (mod 5), yaitu suatu kalimat kekongkruenan yang benar. Begitu pula jika x di ganti berturut-turut oleh ....,-7,-2,8,13,... akan memberikan kalimat-kalimat kongkruen yang benar. Perkongkruenan linear ax ≡ b (mod m) akan mempunyai penyelesaian jika dan hanya jika ada bilangan x dan k yang memenuhi persamaan ax ≡ b + km.

Suatu perkongruenan linear dapat mempunyai satu solusi (seperti contoh di atas), ada yang memiliki lebih dari satu solusi, atau mungkin tidak memiliki solusi sama sekali, misalnya 3x ≡ 5 (mod 12) tidak memiliki penyelesaian, sebab tidak ada x yang memenuhi 3x – 5 = 12.k atau 12∤(3x – 5), untuk x dan k bilangan bulat. (akan dibahas lebih lanjut di aplikasi perkongkruenan linear)

2.      Aplikasi perkongruenan linear 

Contoh :

3x ≡ 4 (mod 5), merupakan perkongruenan linear, sedangkan x⁴ – 5x + 7 ≡ 5 (mod 7),  bukan merupakan pengkoreanan linear.

Untuk perkongruenan linear 3x ≡ 4 (mod 5),

Jika x = 3 maka   :  (3.3)   ≡  4 (mod 5) = 9 ≡ 4 (mod 5), merupakan suatu kalimat pengkongruenan linear yang benar. Jika  x = -7 maka : (3 (-7)) ≡ 4 (mod 5) = -21 ≡ 4 (mod 5), merupakan suatu kalimat pengkongruenan linear yang benar. Dan untuk nilai – nilai x yang lainnya, seperti : ......, -12, -7, -2, 3, 8. ....

Karena ax ≡ b (mod m), berarti ax – b = mk, untuk k ϵ  Z atau ax = b + mk. Jadi perkongruenan linier ax ≡ b (mod m) akan mempunyai solusi atau penyelesaian jika dan hanya jika ada x dan k anggota z yang memenuhi persamaan ax – b = k. Misalkan r memenuhi perkongruenan linier ax ≡ b (mod m), berarti ar ≡ b (mod m), maka setiap bilangan bulat ( (r+m), (r+2m), (r+3m), ..., (r–m), (r– 2m),...) memenuhi perkongruenan itu sebab  a(r +mk) ≡ ar ≡ b (mod m) untuk k ϵ  Z. Diantara bilangan-bilangan bulat ( r + mk ) dengan k = 0, 1, 2, 3, ...,-1, -2, -3,... ada tepat satu dan hanya satu katakan s dengan 0 ≤ s < m  sebab suatu bilangan bulat meski terletak diantara dua kelipatan m yang berurutan.

Jadi, jika r memenuhi perkongruenan ax ≡ b (mod m) dan  km ≤ r < (k+1)m untuk  suatu  bilangan  bulat k maka 0 ≤ ( r – km) < m , jadi s = r – km untuk suatu bilangan bulat k. Ini berarti s merupakan solusi ( penyelesaian ) dari perkongruenan                ax ≡ b (mod m).

Contoh :

(1)   Misalkan 2x ≡ 4 (mod 2). Nilai-nilai x yang memenuhi perkongruenan 2x ≡ 4 (mod 2) ini adalah ..., -19, -12, -5, 2, 9, 16, ... dengan solusi perkongruenan adalah 2. Yaitu residu terkecil modulo 7 yang memenuhi perkongruenan linier 2x ≡ 4 (mod 2). Pada persamaan ax = b dengan a ≠ 0 hanya mempunyai satu solusi, banyak solusi, bahkan ada yang tidak mempunyai solusi.

(2)   2x ≡ 1(mod 4). Jika 2x ≡1(mod 4) maka 4│(2x–1) tidak mempunyai solusi karena tidak ada suatu bilangan bulat x yang memenuhi 4│(2x–1) berarti 4│(2x–1).

(3)   3x ≡ 5 (mod 11). Jika 3x ≡ 5 (mod 11) maka 11 │ (3x – 5) hanya mempunyai tepat satu solusi yaitu 9.

(4)   2x ≡ 4 (mod 6). Jika 2x ≡ 4 (mod 6) maka 6 │ (2x – 4) mempunyai beberapa solusi yaitu yaitu 2 dan 5

Teorema`1 :  

Jika (a,m) tidak dapat membagi b maka perkongruenan linier ax ≡ b (mod m) tidak mempunyai solusi.

Bukti :

Ambil a, b, m ϵ Z dengan m > 0 dan ax ≡ b (mod m) mempunyai solusi adt : (am) │ b. Karena ax ≡ b (mod m) mempunyai solusi misalkan r maka  ar ≡ b (mod m) atau  (ar–b) = mk. untuk suatu bilangan bulat k, b = ar – mk. Misalkan (am) = d maka d│a dan d│m Karena d│a maka d│ar untuk suatu r ϵ Z Karena d │m maka d │mk untuk suatu k ϵ Z, karena d │ ar dan d │ mk maka d │ar – mk atau d │ b, Karena kontraposisi di atas benar maka teorema di atas juga benar.

Contoh :

6x ≡ 7 (mod 8) karena ( 6,8 ) = 2 dan 2 tidak dapat membagi  7  maka 6x ≡ 7 (mod 8) tidak mempunyai solusi .

Teorema 2 :

Jika (a,m)=1 maka perkongruenan linier ax ≡ b(mod m) memiliki tepat satu solusi

Bukti :

Ambil a, m ϵ Z dengan m > 0 dan ( a,m ) = 1

Adt : ax ≡ b (mod m) memiliki tepat satu solusi , Akan ditunjukkan ax ≡ b (mod m) Mempunyai solusi karena (am) = 1 maka ada bilangan bulat r dan s sehingga ar+ms=1. Jika kedua ruas dikalikan dengan b maka :

(ar) b + (ms) b = b

a (rb) – b = m (-sb)

karena m │ a (rb) – b maka dapat ditulis a (rb) ≡ b (mod m). Maka residu terkecil dari rb modulo m adalah solusi dari perkongruenan itu. Akan ditunjukkan ax ≡ b (mod m) mempunyai tepat satu solusi (kontradiksi). Misalkan solusi perkongruenan itu tidak tunggal, misalkan r dan s masing-masing solusi dari ax ≡ b (mod m) maka ar ≡ b (mod m) dan as ≡ b (mod m) atau ar ≡ as (mod m) karena (a,m) = 1 maka r ≡ s (mod m). Berarti m │ r – s  .... (i)

Tetapi karena r dan s adalah solusi dari perkongruenan itu maka r dan s masing-masing residu terkecil modulo m sehingga 0≤r<m dan 0≤s<m atau -m<r–s< m......(ii). Dari (i) dan (ii)  yaitu  m│r–s dan -m<r–s<m maka haruslah r–s = 0  atau r = s. Ini berarti bahwa solusi dari perkongruenan linier tunggal untuk (a,m ) = 1.

Contoh :

(1)   4x ≡ 1 ( mod 15 )

x ≡ 16 ( mod 15 )

x ≡ 4 ( mod 15 )

x  = 4 + 15 k  untuk suatu k = 0, ±1, ±2, ±3, ...

Residu terkecil dari 4x ≡ 1 ( mod 15 ) adalah 4.

(2)   14 x ≡ 27 ( mod 31 )

14 x ≡ 58 ( mod 31 )

7x ≡ 29 ( mod 31 )

7x ≡ 91 ( mod 31 )

x ≡ 13 ( mod 31 ) 

x = 13 + 31 k untuk suatu k = 0, ±1, ±2, ±3, ...

Residu terkecil dari 14 x ≡ 27 ( mod 31 ) adalah 13.

Jika (am) = 1, ax ≡ 1 (mod m) juga mempunyai tepat satu solusi. Solusi itu disebut invers dari a modulo m  yang disebut a^-1. a^-1 (mod m ) dapat ditulis dengan ax ≡ 1 (mod m)

Contoh : 

Tentukan 2^-1 (mod 13)

Penyelesaian :

2x ≡ 1 ( mod 13 )

2x ≡ 14 ( mod 13 )

  x ≡ 7 ( mod 13 )

x = 7 + 13 k     untuk k = 0, ±1, ±2, ±3, ...

Residu terkecil dari 2x ≡ 1 ( mod 13 ) adalah 7.

Teorema 3 :

Jika ( a,m ) = d dan  d │ b maka perkongruenan linier ax ≡ b ( mod m ) memiliki tepat d solusi.

Bukti :

Ambil a, b, d, m ϵ Z dengan m > 0 dan ( a,m ) = d dan d│b.

Adt : ax ≡ b ( mod m ) memiliki tepat d solusi. Akan ditunjukkan d buah solusi. Ambil a, b, d, m ϵ Z dengan m > 0 dan ( a,m ) = d dan d│b

Adt : ax ≡ b ( mod m ) memiliki tepat d solusi. Karena ( a,m ) = d berarti akan ada bilangan (a’,m’) = 1 sehingga berlaku a = da’ dan m = dm’ .Karena d│b maka ada b’ sehingga b = b’ d

Perhatikan bahwa :

ax ≡ b (mod m)

( da’) x ≡ db’ (mod m’d), Karena (a,m) = d dan (a’,m’) = 1 maka (da’)x ≡ db’ (mod dm’)  jika kedua ruas dibagi dengan d maka a’x ≡ db’ (mod dm’). Karena (a’,m’) = 1  maka  a’x = b’ (mod m’) akan memiliki satu solusi, misalkan solusi itu adalah r. Maka d buah bilangan yaitu :

r,r+m’ , r+2m’, ... , r+(d–1)m’ atau r+km’ untuk k = 0,1 2,... ,(d–1) memenuhi perkongruenan ax ≡ b (mod m) akan berlaku : ax = a (r + km) = da’ (r + km’)= da’r + da’km’ Karena a’r ≡ b’(mad m’)  dan  m’d = m maka  ax ≡ a’rd + a’km’d (mod m)  ≡ b’d + a’km’d ( mod m)  ax ≡ b’d ( mod m)  ax ≡ b ( mod m). Jadi r + km’  untuk k = 0, 1, 2, ..., (d–1) memenuhi perkongruenan ax ≡ b ( mod m ). Setiap   r + km’  dengan  k = 0, 1, 2, ..., ( d – 1 ) memenuhi perkongruenan ax ≡ b ( mod m ) akan berlaku :  ax = a (r + km) = da’ (r + km’) = da’r + da’km’

Karena a’r  ≡ b’ ( mod m’) dan m’ = m maka

             ax  ≡ a’rd + a’km’d ( mod m)

                   ≡ b’d + a’km’d ( mod m)

                   ≡ b’d ( mod m)

                   ≡ b ( mod m)

Jadi r + km’ untuk k = 0,1,2,......,(d–1) memenuhi perkongruenan ax  ≡ b ( mod m)

Setiap r +km’ dengan k = 0, 1, 2, 3,..., (d – 1) adalah residu terkecil dari modulo m. Karena r adalah solusi dari a’x  ≡ b’ ( mod m’) berarti r ≥ 0 sehingga 0 ≤ r + km’. Perhatikan bahwa :

            r + km’ ≤ r + (d – 1)m’ ; untuk setiap k = 0, 1,  2, ........, (d – 1)

            r + (d – 1)m’ < m’ + (d – 1) m’

            r + (d -1) m’ < m’ + dm’ – m’

            r + (d – 1)m’ < dm’

            r + (d – 1) m’ < m

ini berarti 0 ≤ r + km’ < m. hal ini menunjukkan bahwa (r + km’) untuk k = 0, 1, 2, ...... ,(d – 1) adalah residu – residu terkecil modulo m atau mempunyai d buah solusi yang berbeda. Artinya tidak ada bilangan dari (r + km’) untuk k = 0,  1,  2, ......,(d – 1) yang kongruen modulo m sebab (r + km’) untuk k = 0,  1,  2,.......,(d -1) adalah residu – residu terkecil modulo m yang berbeda. Tidak ada solusi lain kecuali d buah solusi itu. Karena r  adalah solusi dari perkongruenan linear ax  ≡ b ( mod m), misalkan ada solusi lain yaitu s, berarti ;         

as  ≡ b ( mod m) dan  ar  ≡ b ( mod m). sehingga

as  ≡ ar ( mod m)

Karena (a , m) = d dan as  ≡ ar ( mod m) maka diperoleh

s  ≡ r  ( mod m/d)

s  ≡ r ( mod m’)

Ini berarti s – r = tm’ atau s = r + tm’ untuk suatu bilangan bulat t. Karena s residu terkecil modulo m, sedangkan semua residu terkecil modulo m berbentuk (r + km’) dengan k = 0,  1,  2,........, (d – 1).

Maka s = r + tm’ adalah salah satu solusi di antara (r + km’). Jadi tidak ada solusi lain kecuali d buah solusi yaitu (r + km’) dengan k = 0,  1,  2,  ......, (d – 1)

Contoh :

Selesaikanlah  6x  ≡ 15 ( mod 33)

Jawab :

            6x  ≡ 15 ( mod 33)                  karena (6 , 33) = 3 maka

            2x  ≡ 5 ( mod 11)                    karena (2 , 11) = 1 maka

            2x  ≡ 16 ( mod 11)

              x  ≡ 8 ( mod 11)

            ini berarti x = 8 + 11k, untuk setiap k ϵ Z

            untuk k = 0 maka x = 8

            untuk k = 1 maka x = 19

            untuk k = 2 maka x = 30

            Jadi 6x  ≡ 15 ( mod 33) mempunyai 3 buah solusi yang berbeda yaitu 8,  19, dan 30.

D.    Ciri Habis Dibagi

1.      Definisi ciri habis dibagi

Definisi dari ciri habis dibagi adalah jika a suatu bilangan asli dan b suatu bilangan bulat, maka a membagi b (dinyatakan dengan  ). Jika dan jika ada sebuah bilangan bulat c demikian sehingga b = ac.Suatu bilangan bulat x dikatakan habis dibagi oleh suatu bilangan bulat y ≠ 0, jika terdapat satu bilangan bulat p sedemikian sehingga x = py. Jika hal ini dipenuhi maka y dikatakan membagi x dan dinotasikan dengan y │ x yang dapat diartikan sebagai y adalah faktor (pembagi) x, atau x adalah kelipatan y. Jika y tidak membagi x dinotasikan dengan y ┼ x.

Keterbagian (divisibility) merupakan dasar pengembangan teori bilangan, sehingga konsep-konsep keterbagian akan banyak digunakan didalam sebagian besar uraian atau penjelasan matematis tentang pembuktian teorema. Keadaan inilah yang memberikan gagasan tentang perlunya definisi keterbagian. Keterbagian atau divisibility adalah sudut  pandang matematika yang mempelajari suatu bilangan yang habis oleh bilangan lain.

2.      Dalil-dalil Ciri Habis Dibagi

a)      Dalil 1 :

Jika a dan b masing-masing habis dibagi p, maka a+b dan a-b habis dibagi p

Diketahui : a habis dibagi p

                   b habis dibagi p

Buktikan :  a+b habis dibagi p

                               a-b habis dibagi p

Bukti :

a habis dibagi p berarti a= k x p

b habis dibagi p berarti b= m x p, maka a+b = k x p + m x p = (k+m) x p, Jadi a + b habis dibagi p, a-b = k x p – m x p = (k-m) x p. Jadi a-b habis dibagi p.

b)     Dalil 2

Jika a habis dibagi p tetapi b tidak habis dibagi p, Maka a+b dan a–b tidak habis dibagi p.

Diketahui : a habis dibagi p

                   b tidak habis dibagi p

Buktikan : a + b tidak habis dibagi p

                   a – b tidak habis dibagi p

Bukti:

Mengingat yang harus dibuktikan terdapat dua kemungkinan, yaitu: a + b habis dibagi p, atau a + b tidak habis dibagi p. Andaikan a + b habis dibagi p. Diketahui bahwa a habis dibagi p maka menurut dalil I: ( a + b ) +  (-a) habis dibagi p. Jadi b habis dibagi p. Hal ini bertentangan dengan yang diketahui. Sehingga perandaian diatas salah.Maka a + b tidak habis dibagi p. Apabila a habis dibagi b, dan b habis dibagi c, maka a habis dibagi c.

c)      Dalil 3

Diketahui : a habis dibagi b

                   b habis dibagi c

Buktikan :  a habis dibagi c

Bukti:

a habis dibagi b berarti a = k x b

b habis dibagi c berarti b = m x c

Jadi   a  = k x ( m x c ) = ( k x m ) x c

Catatan : nol habis dibagi oleh tiap-tiap bilangan asli.

3.      Ciri Habis Dibagi

Bilangan habis dibagi bukan berarti hasil yang didapat dari pembagian bilangan tersebut sama dengan 0 tetapi hasil dari pembagiannya adalah bilangan bulat. Misalnya 10 : 2 = 5 maka 10 habis dibagi 2 karena hasil dari pembagian tersebut adalah bilangan bulat yaitu 5, sedangkan 10 : 3 = 3,33 sehingga 10 tidak habis dibagi 3 karena hasilnya tidak dalam bilangan bulat yaitu 3,33.Berikut ini merupakan ciri-ciri bilangan yang habis dibagi.

a)       Ciri Habis Dibagi 2

Suatu bilangan habis dibagi dua apabila nilai angka terakhir dari lambangnya habis dibagi dua. Bilangan yang habis dibagi 2 adalah bilangan genap yang digit terakhirnya 0, 2, 4, 6, maupun 8.

Contoh:
Apakah 4796 habis dibagi 2?

Jawaban:

4796790 + 6 = 479 x 10 + 6

Suku pertama ruas kanan, yaitu 479 x 10, habis dibagi 10. Karena 10 habis dibagi 2, maka 479 x 10 habis dibagi 2 (dalil III). Suku kedua, yaitu 6, juga habis dibagi 2. Maka menurut dalil I, 4790 + 6 habis dibagi 2. Jadi, 4796 habis dibagi 2.

b)     Ciri Habis Dibagi 3

Setiap kelipatan 9 merupakan kelipatan 3, maka terdapat dalil: Setiap bilangan sama dengan kelipatan tiga ditambah jumlah nilai angka-angkanya. Dari dalil itu diturunkan ciri habis dibagi tiga adalah: Suatu bilangan yang habis dibagi 3 adalah bilangan yang apabila jumlah angka-angka bilangan tersebut habis dibagi 3.

Contoh:
Apakah 32564892 habis dibagi 3?

Jawaban:

Karena 3 + 2 + 5 + 6 + 4 + 8 + 9 + 2 = 39, lalu 39:3=13. Jadi, 32564892 habis dibagi 3.

c)      Ciri Habis Dibagi 4

Suatu bilangan habis dibagi 4 apabila 2 bilangan/digit terakhir bilangan tersebut habis dibagi 4.

Contoh:
Apakah 25879416 habis dibagi 4?

Jawaban:

Karena 2 angka/digit terakhir bilangan tersebut adalah 16, dan 16 habis dibagi 4. Jadi, 25879416 habis dibagi 4.

d)     Ciri Habis Dibagi 5

Suatu bilangan habis dibagi 5 apabila angka terakhir lambangnya habis dibagi 5. Dapat pula dikatakan suatu bilangan habis dibagi 5 apabila lambangnya berakhir dengan angka 0 atau angka 5.

Contoh:
Apakah 225654580 habis dibagi 5?

Jawaban:
Karena digit terakhir bilangan tersebut adalah 0, maka 225654580 habis dibagi 5. Jadi, 225654580 habis dibagi 5.

e)      Ciri Habis Dibagi 6

Ciri-ciri bilangan yang habis dibagi 6 adalah apabila jumlah digit-digit bilangan tersebut habis dibagi 2 dan habis dibagi 3.

Contoh:
Apakah 1286652 habis dibagi 6?

Jawaban:
Karena 1 + 2 + 8 + 6 + 6 + 5 + 2 = 30, dan 30 habis dibagi 2 (30:2=15) dan habis dibagi 3 (30:3=10) maka 1286652 habis dibagi 6.

f)       Ciri Habis Dibagi 7

Bilangan yang habis dibagi 7 adalah bilangan yang apabila satuan bilangan tersebut dikali 2 lalu menjadi pengurangan bagi bilangan didepannya/sisanya.
Contoh:
Apakah 553 habis dibagi 7?

Jawaban:
Karena satuannya (3) dipisah dan dikali 2 lalu 55 – (3 x 2) = 55 – 6 = 49, 49 habis dibagi 7,maka 553 habis dibagi 7. Jadi, 553 habis dibagi 7.

g)      Ciri Habis Dibagi 8

Ciri-ciri bilangan habis dibagi 8 adalah apabila 3 digit terakhir bilangan tersebut habis dibagi 8.

Contoh:
Apakah 12360 habis dibagi 8?

Jawaban:
Karena 3 digit terakhir bilangan tersebut habis dibagi 8 (360 : 8 = 45),maka 12360 habis dibagi 8. Jadi, 12360 habis dibagi 8.

h)     Ciri Habis Dibagi 9

Setiap bilangan sama dengan kelipatan sembilan ditambah dengan jumlah nilai angka-angkanya. Dari dalil tersebut, mengingat dalil I, dapat diturunkan ciri habis dibagi sembilan yaitu: Suatu bilangan yang habis dibagi sembilan adalah jumlah semua digit-digit bilangan tersebut habis dibagi 9.

Contoh:
Apakah 12684591 habis dibagi 9?

Jawaban:
Karena 1 + 2 + 6 + 8 + 4 + 5 + 9 + 1 = 36, dan 36 habis dibagi 9, maka 12684591 habis dibagi 9. Jadi, 12684591 habis dibagi 9.

i)        Ciri habis dibagi 11

Bilangan yang habis dibagi 11 yaitu jika bilangan tersebut merupakan kelipatan 11. Ciri bilangan habis dibagi 11 yaitu jika jumlah digitnya dengan berganti tanda dari digit satuan hasilnya habis dibagi 11

Contoh:

Apakah 1234 habis dibagi 11?

Jawaban :

Maka yang kita lakukan adalah menjumlahkan dengan tanda berselang seling dari digit satuan. Tanda dimulai dari positif. Maka mengechecknya 4 – 3 + 2 – 1 = 2. Karena 2 tidak habis dibagi 11, maka 1234 juga tidak habis dibagi 11.

BAB III

PENUTUP

A.    Kesimpulan

1.      Kekongruenan Bilangan Bulat

Definisi 1:

Jika m suatu bilangan positif maka a kongruen dengan modulo m (ditulis a ≡ b (mod m)) jika dan hanya jika m membagi (a-b) atau ditulis m | (a-b). Jika m tidak membagi (a-b) maka dikatakan a tidak kongruen dengan b modulo m.

(Tiro dkk, 2008: 264)

Definisi 2 :

Pada a ≡ r(mod m) dengan 0 ≤ r < m, r disebut sisian terkecil dari amodulo m. Untuk kekongruenan ini , {0,1,2,3,...,(m-1)} disebut himpunan sisian positif terkecil modulo m.

(Tiro dkk, 2008: 265)

Definisi 3 :

Himpunan bilangan bulat r₁,r_2,r_3,.....,r_m disebut sistem sisaan lengkap modulo m jika dan hanya jika setiap bilangan bulat adalah kongruen modulo m dengan satu dan hanya satu diantara r₁,r_2,r_3,.....,atau r_m.

(Tiro dkk, 2008: 267)

2.      Aplikasi Kekongruenan

Dalam kehidupan sehari-hari, terdapat beberapa keadaan yang serupa dengan masalah kekongruenan. Misalnya, kerja arloji mengikuti aturan madulo 12 untuk menyatakan jam, dan modulo 60 untuk menyatakan menit dan detik. Selanjutnya, kerja kelender mengikuti aturan modulo 7 untuk hari-hari dalam satu minggu dan modulo 12 untuk bulan-bulan dalam setahun.

Kekongruenan modulo 9 dapat digunakan untuk memeriksa kebenaran terhadap operasi aritmetika yaitu penjumlahan, pengurangan, perkalian, dan pembagian pada bilangan bulat. Perhatikan penjelasan berikut ini :

Misalnya, diketahui bahwa :

10.000-1 = 9.999 = 9 k₄ sehingga 10.000 = 1(mod 9)

  1.000-1 =    999 = 9 k₃ sehingga   1.000 = 1(mod 9)

100-1=      99 = 9 k₂ sehingga      100 = 1(mod 9)

10-1=        9 = 9 k₁ sehingga        10 = 1(mod 9)

3.      Perkongruenan Linear dan Aplikasinya

Perkongruenan merupakan kalimat terbuka yang menggunakan relasi kekongruenan. Perkongruenan linear merupakan suatu perkongruenan yang memiliki variabel berpangkat paling tinggi satu. Misalnya : 3x ≡ 2 (mod 8 ), 2x ≡ 7 (mod 10), dan sebagainya. Suatu perkongruenan linear dapat mempunyai satu solusi (seperti contoh di atas), ada yang memiliki lebih dari satu solusi, atau mungkin tidak memiliki solusi sama sekali.

4.      Ciri Habis Dibagi

Definisi dari ciri habis dibagi adalah jika a suatu bilangan asli dan b suatu bilangan bulat, maka a membagi b (dinyatakan dengan  ). Jika dan jika ada sebuah bilangan bulat c demikian sehingga b = ac.Suatu bilangan bulat x dikatakan habis dibagi oleh suatu bilangan bulat y ≠ 0, jika terdapat satu bilangan bulat p sedemikian sehingga x = py. Jika hal ini dipenuhi maka y dikatakan membagi x dan dinotasikan dengan y │ x yang dapat diartikan sebagai y adalah faktor (pembagi) x, atau x adalah kelipatan y. Jika y tidak membagi x dinotasikan dengan y ┼ x.

B.     Saran

Makalah ini disusun dengan tujuan untuk menambah wawasan dan membantu memudahkan kita dalam mengikuti mata kuliah Teori Bilangan terkhusus pada materi kekongruenan. Kami sebagai penyusun memberi saran dan harapan yang besar kepada pembaca yang budiman untuk mempergunakan makalah ini sebaik mungkin. Selain itu kami juga menyadari bahwa dalam penyusunan makalah ini terdapat banyak kekurangan, maka dari itu kami bersedia menerima tiap kritikan dan saran dari pembaca yang bersifat membangun.

Semoga dengan diterbitkannya makalah ini wawasan kita mengenai mata kuliah Teori Bilangan terkhusus pada materi kekongruenan. Kami mengucapkan terimakasih dan permohonan maaf yang sebesar-besarnya kepada pembaca dan semua pihak yang telah terlibat dalam penyusunan makalah ini.

DAFTAR PUSTAKA

Nisa, utamy. 2014. Ciri habis dibagi. (online) http://nissautamycirihabisdibagi13.blogspot.com/2014/02/ciri-habis-dibagi.html. diakses 11 november 2014 pukul 07.40 WITA

Tiro, Muhammad Arif, dkk. 2008. Pengenalan Teori Bilangan. Makassar : Andira Publisher.

Wardhani, krisna 2010. Perkongruenan linear.(online) http://krisna8.wordpress.com/2010/11/24/perkongruenan-linear diakses 11 november 2014 pukul 07.00 WITA

Yahya, A Halim Fathani. 2009 .Uji Kebenaran Operasi Aritmetika pada Bilangan Bulat Dengan Kekongruenan Modulo 9. (online).http://masthoni.wordpress.com/2009/07/28/uji-kebenaran-operasi-aritmetika-pada-bilangan-bulat-dengan-kekongruenan-modulo-9/. diakses 10 november 2014 pukul 05.53 WITA

DAFTAR ISI

Kata Pengantar................................................................................................................ i

Daftar Isi.......................................................................................................................... ii

BAB I Pendahuluan........................................................................................................ 1

A.    Latar Belakang...................................................................................................... 1

B.     Rumusan Masalah................................................................................................. 1

C.     Tujuan.................................................................................................................... 1

BAB II Pembahasan....................................................................................................... 2

A.    Kekongruenan Bilangan Bulat.............................................................................. 2

B.     Aplikasi Kekongruenan......................................................................................... 9

C.     Perkongruenan Linear dan Aplikasinya................................................................ 13

D.    Ciri Habis Dibagi................................................................................................... 19

BAB III Penutup............................................................................................................. 24

A.    Kesimpulan............................................................................................................ 24

B.     Saran...................................................................................................................... 25

Daftar Pustaka................................................................................................................ 26