Berbagi Info: SEJARAH BILANGAN

BAB I

PENDAHULUAN

A. Latar Belakang

Dalam menghitung (counting) , seorang matematikawan biasanya tidak menghitung jumlah dari objek objek dalam suatu koleksi pada suatu waktu, tetapi lebih mencari untuk menentukan pola pola dan hubungan diantara objek objek yang memungkinkan mereka untuk menghitung dengan cara tidak langsung. Dalam hal ini, menghitung terjadi dalam banyak bagian dari matematika dan sering melibatkan metode metodeyang cukup canggih.

Beberapa formula menghitung kuno dapat ditelusuri pada abad ke-7. Tetapi teori menghitung ini mulai dikembangkan pada abad ke-16, ketika matematikawan matematikawan mulai menganalisis permainan permainan judi (games of change) tertentu. Dalam usaha untuk menjawab pertanyaan pertanyaan tentang pelemparan dadu dan penarikan kartu kartu, beberapa orang metematikawan Eropa pada saat itu mulai mengorganisasi hasil hasil mereka ke dalam teori menghitung yang formal. Salah seorang tokoh utama dalam pengembangan ini adalah matematikawan Perancis, Blaise Pascal, yang menulis sebuah makalah berkaitan dengan teori kombinasi kombinasi.

Karya yang dilakukan oleh pascal dan yang lain sekarang dikembangkan dalam suatu cabang matematika yang disebut combinatorial analysis (kombinatorik). Dua aspek besar dalam subyek ini adalah permutasi dan kombinasi yang mempunyai aplikasi dalam teori bidang peluang.

Kombinatorial (combinatoric) adalah cabang matematika yang mempelajari pengaturan objek objek. Solusi yang ingin kita peroleh dengan kombinatorial ini adalah jumlah cara pengaturan objek objek tertentu di dalam kumpulannya. Kombinatorial didasarkan pada hasil yang diperoleh dari suatu eksperimen/percobaan atau event (kejadian/peristiwa). Percobaan adalah proses fisik yang hasilnya dapat diamati.

B. Rumusan Masalah

a. Siapa penemu bilangan ?

b. Bagaimana sejarah bilangan ?

c. Bagaimana perkembangan bilangan pada beberapa negara?

d. Ada apa saja macam-macam pada bilangan ?

e. Apa sifat-sifat pada bilangan ?

C. Tujuan

a. Untuk mengetahui bagaimana sejarah pada bilangan.

b. Supaya mahasiswa bisa mengetahui perkembangan bilangan di beberapa negara.

c. Supaya mahasiswa dapat mengetahui macam-macam bilangan beserta sifatnya.

BAB II

PEMBAHASAN

I. SEJARAH BILANGAN

1. Penemuan Bilangan

Pada masa ini, teori bilangan tidak hanya berkembang sebatas konsep, tapi juga banyak diaplikasikan dalam berbagai bidang ilmu pengetahuan dan teknologi.Hal ini dapat dilihat pada pemanfaatan konsep bilangan dalam metode kode baris, kriptografi, komputer, dan lain sebagainya.

Bilangan pada awalnya hanya dipergunakan untuk mengingat jumlah, namun dalam perkembangannya setelah para pakar matematika menambahkan perbendaharaan simbol dan kata-kata yang tepat untuk mendefenisikan bilangan maka matematika menjadi hal yang sangat penting bagi kehidupan dan tak bisa kita pungkiri bahwa dalam kehidupan keseharian kita akan selalu bertemu dengan yang namanya bilangan, karena bilangan selalu dibutuhkan baik dalam teknologi, sains, ekonomi ataupun dalam dunia musik, filosofi dan hiburan.

2. Gambaran Sejarah Purbakala dari Matematika

Pada mulanya di zaman purbakala banyak bangsa-bangsa yang bermukim sepanjang sungai-sungai besar. Bangsa Mesir sepanjang sungai Nil di Afrika, bangsa Babilonia sepanjang sungai Tigris dan Eulfrat, bangsa Hindu sepanjang sungai Indus dan Gangga, bangsa Cina sepanjang sungai sepanjang sungai Huang Ho dan Yang Tze. Bangsa-bangsa itu memerlukan keterampilan untuk mengendalikan banjir, mengeringkan rawa-rawa, membuat irigasi untuk mengolah tanah sepanjang sungai menjadi daerah pertanian untuk itu diperlukan pengetahuan praktis, yaitu pengetahuan teknik dan matematika bersama-sama.

Sejarah menunjukkan bahwa permulaan Matematika berasal dari bangsa yang bermukim sepanjang aliran sungai tersebut. Mereka memerlukan perhitungan, penanggalan yang bisa dipakai sesuai dengan perubahan musim. Diperlukan alat-alat pengukur untuk mengukur persil-persil tanah yang dimiliki. Peningkatan peradaban memerlukan cara menilai kegiatan perdagangan, keuangan dan pemungutan pajak. Untuk keperluan praktis itu diperlukan bilangan-bilangan.

3. Awal Bilangan

Bilangan dahulunya digunakan sebagai symbol untuk menggantikan suatu benda misalnya kerikil, ranting yang masing-masing suku atau bangsa memiliki cara tersendiri untuk menggunakannya.

4. Perkembangan Teori Bilangan

Perkembangan teori bilangan telah menyebar ke berbagai negara , di bawah ini akan di jelaskan beberapa perkembangan yang ada pada negara-negara tersebut :

a) Teori Bilangan Pada suku Babilonia

Matematika Babilonia merujuk pada seluruh matematika yang dikembangkan oleh bangsa Mesopotamia (kini Iraq) sejak permulaan Sumeria hingga permulaan peradaban helenistik. Dinamai “Matematika Babilonia” karena peran utama kawasan Babilonia sebagai tempat untuk belajar. Pada zaman peradaban helenistik, Matematika Babilonia berpadu dengan Matematika Yunani dan Mesir untuk membangkitkan Matematika Yunani. Kemudian di bawah Kekhalifahan Islam, Mesopotamia, terkhusus Baghdad, sekali lagi menjadi pusat penting pengkajian Matematika Islam.
Bertentangan dengan langkanya sumber pada Matematika Mesir, pengetahuan Matematika Babilonia diturunkan dari lebih daripada 400 lempengan tanah liat yang digali sejak 1850-an. Lempengan ditulis dalam tulisan paku ketika tanah liat masih basah, dan dibakar di dalam tungku atau dijemur di bawah terik matahari.

Beberapa di antaranya adalah karya rumahan. Bukti terdini matematika tertulis adalah karya bangsa Sumeria, yang membangun peradaban kuno di Mesopotamia. Mereka mengembangkan sistem rumit metrologi sejak tahun 3000 SM. Dari kira-kira 2500 SM ke muka, bangsa Sumeria menuliskan tabel perkalian pada lempengan tanah liat dan berurusan dengan latihan-latihan geometri dan soal-soal pembagian. Jejak terdini sistem bilangan Babilonia juga merujuk pada periode ini.

Sebagian besar lempengan tanah liat yang sudah diketahui berasal dari tahun 1800 sampai 1600 SM, dan meliputi topik-topik pecahan, aljabar, persamaan kuadrat dan kubik, dan perhitungan bilangan regular, invers perkalian, dan bilangan prima kembar. Lempengan itu juga meliputi tabel perkalian dan metode penyelesaian persamaan linear dan persamaan kuadrat. Lempengan Babilonia 7289 SM memberikan hampiran bagi √2 yang akurat sampai lima tempat desimal.

Matematika Babilonia ditulis menggunakan sistem bilangan seksagesimal (basis-60). Dari sinilah diturunkannya penggunaan bilangan 60 detik untuk semenit, 60 menit untuk satu jam, dan 360 (60 x 6) derajat untuk satu putaran lingkaran, juga penggunaan detik dan menit pada busur lingkaran yang melambangkan pecahan derajat. Juga, tidak seperti orang Mesir, Yunani, dan Romawi, orang Babilonia memiliki sistem nilai-tempat yang sejati, di mana angka-angka yang dituliskan di lajur lebih kiri menyatakan nilai yang lebih besar, seperti di dalam sistem desimal

b) Teori Bilangan Pada Suku Bangsa Mesir Kuno

Matematika Mesir merujuk pada matematika yang ditulis di dalam bahasa Mesir. Sejak peradaban helenistik matematika Mesir melebur dengan matematika Yunani dan Babilonia yang membangkitkan Matematika helenistik. Pengkajian matematika di Mesir berlanjut di bawah Khilafah Islam sebagai bagian dari matematika Islam, ketika bahasa Arab menjadi bahasa tertulis bagi kaum terpelajar Mesir.

Tulisan matematika Mesir yang paling panjang adalah Lembaran Rhind (kadang-kadang disebut juga “Lembaran Ahmes” berdasarkan penulisnya), diperkirakan berasal dari tahun 1650 SM tetapi mungkin lembaran itu adalah salinan dari dokumen yang lebih tua dari Kerajaan Tengah yaitu dari tahun 2000-1800 SM. Lembaran itu adalah manual instruksi bagi pelajar aritmetika dan geometri. Selain memberikan rumus-rumus luas dan cara-cara perkalian, pembagian, dan pengerjaan pecahan, lembaran itu juga menjadi bukti bagi pengetahuan matematika lainnya, termasuk bilangan komposit dan prima; rata-rata aritmetika, geometri, dan harmonik; dan pemahaman sederhana Saringan Eratosthenes dan teori bilangan sempurna (yaitu, bilangan 6). Lembaran itu juga berisi cara menyelesaikan persamaan linear orde satu juga barisan aritmetika dan geometri.

Naskah matematika Mesir penting lainnya adalah lembaran Moskwa, juga dari zaman Kerajaan Pertengahan, bertarikh kira-kira 1890 SM. Naskah ini berisikan soal kata atau soal cerita, yang barangkali ditujukan sebagai hiburan.

c) Teori Bilangan Pada Suku Bangsa India

Sulba Sutras (kira-kira 800–500 SM) merupakan tulisan-tulisan geometri yang menggunakan bilangan irasional, bilangan prima, aturan tiga dan akar kubik; menghitung akar kuadrat dari 2 sampai sebagian dari seratus ribuan; memberikan metode konstruksi lingkaran yang luasnya menghampiri persegi yang diberikan, menyelesaikan persamaan linear dan kuadrat; mengembangkan tripel Pythagoras secara aljabar, dan memberikan pernyataan dan bukti numerik untuk teorema Pythagoras.

Kira-kira abad ke-5 SM merumuskan aturan-aturan tata bahasa Sanskerta menggunakan notasi yang sama dengan notasi matematika modern, dan menggunakan aturan-aturan meta, transformasi, dan rekursi. Pingala (kira-kira abad ke-3 sampai abad pertama SM) di dalam risalah prosodynya menggunakan alat yang bersesuaian dengan sistem bilangan biner. Pembahasannya tentang kombinatorika bersesuaian dengan versi dasar dari teorema binomial. Karya Pingala juga berisi gagasan dasar tentang bilangan Fibonacci.

Pada sekitar abad ke 6 SM, kelompok Pythagoras mengembangkan sifat-sifat bilangan lengkap (perfect number), bilangan bersekawan (amicable number), bilangan prima (prime number), bilangan segitiga (triangular number), bilangan bujur sangkar (square number), bilangan segilima (pentagonal number) serta bilangan-bilangan segibanyak (figurate numbers) yang lain. Salah satu sifat bilangan segitiga yang terkenal sampai sekarang disebut triple Pythagoras, yaitu : a.a + b.b = c.c yang ditemukannya melalui perhitungan luas daerah bujur sangkar yang sisi-sisinya merupakan sisi-sisi dari segitiga siku-siku dengan sisi miring (hypotenosa) adalah c, dan sisi yang lain adalah a dan b. Hasil kajian yang lain yang sangat popular sampai sekarang adalah pembedaan bilangan prima dan bilangan komposit. Bilangan prima adalah bilangan bulat positif lebih dari satu yang tidak memiliki Faktor positif kecuali 1 dan bilangan itu sendiri. Bilangan positif selain satu dan selain bilangan prima disebut bilangan komposit. Catatan sejarah menunjukkan bahwa masalah tentang bilangan prima telah menarik perhatian matematikawan selama ribuan tahun, terutama yang berkaitan dengan berapa banyaknya bilangan prima dan bagaimana rumus yang dapat digunakan untuk mencari dan membuat daftar bilangan prima.

Dengan berkembangnya sistem numerasi, berkembang pula cara atau prosedur aritmetis untuk landasan kerja, terutama untuk menjawab permasalahan umum, melalui langkah-langkah tertentu, yang jelas yang disebut dengan algoritma. Awal dari algoritma dikerjakan oleh Euclid. Pada sekitar abad 4 S.M, Euclid mengembangkan konsep-konsep dasar geometri dan teori bilangan. Buku Euclid yang ke VII memuat suatu algoritma untuk mencari Faktor Persekutuan Terbesar dari dua bilangan bulat positif dengan menggunakan suatu teknik atau prosedur yang efisien, melalui sejumlah langkah yang terhingga. Kata algoritma berasal dari algorism. Pada zaman Euclid, istilah ini belum dikenal. Kata Algorism bersumber dari nama seorang muslim dan penulis buku terkenal pada tahun 825 M., yaitu Abu Ja’far Muhammed ibn Musa Al-Khowarizmi. Bagian akhir dari namanya (Al-Khowarizmi), mengilhami lahirnya istilah Algorism. Istilah algoritma masuk kosakata kebanyakan orang pada saat awal revolusi komputer, yaitu akhir tahun 1950.

Pada abad ke 3 S.M., perkembangan teori bilangan ditandai oleh hasil kerja Erathosthenes, yang sekarang terkenal dengan nama Saringan Erastosthenes (The Sieve of Erastosthenes). Dalam enam abad berikutnya, Diopanthus menerbitkan buku yang bernama Arithmetika, yang membahas penyelesaian persamaan didalam bilangan bulat dan bilangan rasional, dalam bentuk lambang (bukan bentuk/bangun geometris seperti yang dikembangkan oleh Euclid). Dengan kerja bentuk lambang ini, Diopanthus disebut sebagai salah satu pendiri aljabar.

d) Teori Bilangan Pada Masa Sejarah (Masehi)

Awal kebangkitan teori bilangan modern dipelopori oleh Pierre de Fermat (1601-1665), Leonhard Euler (1707-1783), J.L Lagrange (1736-1813), A.M. Legendre (1752-1833), Dirichlet (1805-1859), Dedekind (1831-1916), Riemann (1826-1866), Giussepe Peano (1858-1932), Poisson (1866-1962), dan Hadamard (1865-1963). Sebagai seorang pangeran matematika, Gauss begitu terpesona terhadap keindahan dan kecantikan teori bilangan, dan untuk melukiskannya, ia menyebut teori bilangan sebagai the queen of mathematics.
Pada masa ini, teori bilangan tidak hanya berkembang sebatas konsep, tapi juga banyak diaplikasikan dalam berbagai bidang ilmu pengetahuan dan teknologi. Hal ini dapat dilihat pada pemanfaatan konsep bilangan dalam metode kode baris, kriptografi, komputer, dan lain sebagainya.

II. MACAM-MACAM BILANGAN

Sebelum kita mengenal macam-macam bilangan, kita mengenal terlebih dahulu pengertian dari bilangan tersebut. Bilangan adalah suatu ide yang bersifat abstrak yang akan memberikan keterangan mengenai banyaknya suatu kumpulan suatu kumpulan benda. Biasanya lambang bilangan sering dinotasikan dalam bentuk tulisan sebagai angka.

Adapun macam-macam bilangan , yaitu ada bilangan bulat, bilangan asli, bilangan cacah, bilangan prima, bilangan genap, bilangan ganjil, bilangan pecahan, bilangan rasional, bilangan irrasional, bilangan riil, bilangan imajiner dan bilangan kompleks. Dan dapat diuraikan penjelasannya sebagai beikut :

1. Bilangan Bulat

Bilangan bulat merupakan bilangan yang terdiri dari bilangan positif, bilangan negatif dan bilangan bulat.

Contoh bilangan bulat : -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3……

2. Bilangan Asli

Bilangan asli merupakan bilangan bulat positif yang diawali angka 1 sampai tak terhingga.

Contoh bilangan asli : 1, 2, 3, 4, 5, 6, …..

3. Bilangan Cacah

Bilangan cacah merupakan bilangan yang diawali dengan angka nol (0) sampai tak terhingga.

Contoh bilangan cacah : 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 …..

4. Bilangan Prima

Bilangan prima yaitu bilangan yang tepat mempunyai 2 faktor yaitu dapat di bagi oleh angka 1 dan dengan bilangan itu sendiri, atau bilangan asli bukan 1 yang dapat di bagi dengan bilangan itu sendiri.

Contohnya : 2, 3, 5, 7, 11, ….

5. Bilangan Genap

Bilangan genap adalah bilangan cacah yang dapat di bagi 2.

Contohnya : 2, 4, 6, 8, 10 , …..

6. Bilangan Ganjil

Bilangan ganjil merupakan bilangan asli yang jika di bagi 2 selalu bersisa satu (1).

Contohnya : 1, 3, 5, 7,…..

7. Bilangan Pecahan

Bilangan pecahan merupakan bilangan yang terdiri dari pembilang dan penyebut, dimana pembilang sebagai bilangan yang terbagi dan penyebut sebagai bilangan pembagi. Bilangan pecahan terdiri dari pecahan biasa, pecahan campuran, pecahan decimal, pesacah persen dan pecahan pemil.

Contohnya :

· Pecahan Biasa : ⅔ ⅖ ⅘

· Pecahan Cmpuran : 5 ⅘ ,7⅖

· Pecahan Desimal : 0,3/0,25

· Pecahan Persen : 30% = 30/ 100

· Pecahan permil : 30‰ = 30/1000

8. Bilangan Rasional

Bilangan rasional adalah suatu bilangan yang dapat dinyatakan sebagai suatu pembagian antara 2 bilangan bulat.

Contohnya :

….

9. Bilangan Irrasional

Bilangan irrasional yaitu suatu bilangan yang tidak dapat dinyatakan sebagai pembagi antara dua bilangan.

Contohnya :

, log 7 , …..

10. Bilangan Riil (nyata)

Bilangan riil yaitu suatu bilangan yang merupakan penggabungan dari bilangan rasional dan bilangan irrasional.

Contohnya :

log 7 , ….

11. Bilangan immajiner

Bilangan immajiner yaitu suatu bilangan yang dilambangkan dengan huruf (i) dimana i²bernilai -1 atau i =

Contohnya : i, 2i, 4i, ,,,,,,,,

x -1 = 4 x i = 4i

12. Bilangan Kompleks

Bilangan kompleks yaitu suatu bilangan penjumlahan antara bilangan real dan bilangan immajiner atu yang terdiri atas a+bi.

Contohnya : 3+4i …..

III. SIFAT BILANGAN

1) Sifat Komutatif

Dalam penjumlahan dan perkalian, angka yang akan dijumlahkan atau dikalikan dapat dibolak – balik :

5 + 2 = 7 dan 2 + 5 = 7

5 x 2 = 10 dan 2 x 5 = 10

Ini adalah merupakan sifat komutatif, yaitu jika angka yang akan dijumlahkan atau dikalikan menghasilkan hasil yang sama. Dalam sebuah variable dapat dituliskan :

a + b = b + a

a x b = b x a

sifat ini tidak berlaku pada operasi pengurangan dan pembagian.

Contoh :

5 – 2 = 3 sedangkan 2 – 5 = -3

4 : 2 = 2 sedangkan 2 : 4 = 0,5

2) Sifat Asosiatif

Dalam operasi penjumlahan dan perkalian pada tiga bilangan, tidak menjadi masalah apakah anda menggabungkan dua bilangan pertama kemudian bilangan ketiga, atau jika anda mulai dengan menggabungkan bilangan kedua dan ketiga baru kemudian bilangan pertama.

Contoh :

5 + ( 3 + 6 ) = 14 dan ( 5 + 3 ) + 6 = 14

5(3x6) = 90 dan (5x3)6 = 90

Dalam bentuk variable dapat dituliskan sebagai berikut :

a + ( b + c ) = ( a + b ) + c

a(b xc ) = (axb)c

sedangkan pada operasi pengurangan dan pembagian sifat asosiatif tidak berlaku.

3) Sifat Distributif

Perkalian dapat didistribusikan pada operasi penjumlahan atau pembagian.

Contoh :

3( 4 + 5 ) = 3 x 9 = 27 dan 3(4) + 3(5) = 12 + 15 = 27

Dalam bentuk variable dapat dinyatakan dengan :

a( b + c ) = a(b) + a(c)

pada operasi pambagian tidak dapt di distribusikan pada operasi penjumlahan ataupun operasi pengurangan.

BAB III PENUTUP

KESIMPULAN

Awal kebangkitan teori bilangan modern dipelopori oleh Pierre de Fermat (1601-1665), Leonhard Euler (1707-1783), J.L Lagrange (1736-1813), A.M. Legendre (1752-1833), Dirichlet (1805-1859), Dedekind (1831-1916), Riemann (1826-1866), Giussepe Peano (1858-1932), Poisson (1866-1962), dan Hadamard (1865-1963). Bilangan pada awalnya di gunakan untuk mengingat jumlah, namun dalam perkembangannya setelah para pakar matematika menambahkan perbendaharaan simbol dan kata-kata yang tepat untuk mendefenisikan bilangan maka matematika menjadi hal yang sangat penting bagi kehidupan dan tak bisa kita pungkiri bahwa dalam kehidupan keseharian kita akan selalu bertemu dengan yang namanya bilangan, karena bilangan selalu dibutuhkan baik dalam teknologi, sains, ekonomi ataupun dalam dunia musik, filosofi dan hiburan.

Macam-macam bilangan terdiri dari bilangan bulat, bilangan asli, bilangan cacah, bilangan prima, bilangan genap, bilangan ganjil, bilangan pecahan, bilangan rasional, bilangan irrasional, bilangan riil, bilangan imajiner dan bilangan kompleks.

Sifat dalam bilangan di antaranya : sifat komunikatif, sifat asosiatif, sifat distributif.

DAFTAR PUSTAKA

Yahya, Yusuf dkk. 2011. Matematika Dasar Perguruan Tinggi. Bogor : GHALIA INDONESIA.

http://www.adipedia.com/2011/04/mengenal-macam-macam-bilangan-dan.html

http://hariski.wordpress.com/2011/10/17/macam-macam-bilangan-matematika/

http://4matakuliah.blogspot.com/2011/10/macam-macam-bilangan.html

http://tipssoftwarenew.blogspot.com/2012/06/pengertian-dan-macam-macam-bilangan.html

http://novriantoramadhan.blogspot.com/2012/04/macam-macam-bilangan.html