TEORI BILANGAN "BILANGAN CACAH"

Bilangan Cacah

MAKALAH TEORI BILANGAN

BILANGAN CACAH

Dosen : Ismarti, S.Si, M.Sc

Disusun Oleh :

BADRI ROHMAN              NPM 12.05.0.001

JURUSAN PENDIDIKAN MATEMATIKA

FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN

UNIVERSITAS RIAU KEPULAUAN

2014

Kata Pengantar

Puji syukur kehadirat Tuhan Yang Maha Esa atas karunia-Nya makalah ini dapat terselesaikan, meskipun banyak kekurangan di sana- sini.

            Makalah ini disusun untuk memenuhi tugas mata kuliah TEORI BILANGAN. Dalam makalah ini dijelaskan tentang Urutan Bilangan Cacah, Garis Bilangan , Pengurangan & Pembagian Bilangan Cacah.

            Semoga makalah ini dapat bermanfaat untuk membantu dalam memahami TEORI BILANGAN terutama yang berhubungan dengan Bilangan Cacah.

            Kami menyadari bahwa makalah ini masih jauh dari sempurna. Oleh karena itu masukan dan kritikan sangat kami harapkan untuk penyusunan yang lebih baik.

Batam,11 Maret 2014

Penyusun

DAFTAR ISI

Kata Pengantar.................................................................................................................    ii

Daftar Isi...........................................................................................................................     iii

BILANGAN CACAH

1.      Operasi pada Bilangan Cacah...........................................................................      1

2.      Garis Bilangan....................................................................................................       2

      3.   Urutan Bilangan Cacah……………………….…….......................................       2

     4.   Bilangan Genap & Bilangan Ganjil       .........................................................          3

     5.    Pengurangan Bilangan Cacah……………………………………………….        5

     6.     Pembagian Bilangan Cacah……………………………..…………………..        6

     7.    Contoh Soal………………………………………….……………………….         7

     8.    Kesimpulan……………………………………. ……………………………          10

     9.    Daftar Pustaka…………………………………………………………….….        11       

    10.    Lampiran…………………………………………….……………………….        12

BILANGAN CACAH

Definisi

         Bilangan cacah adalah himpunan bilangan bulat yang tidak negatif, yaitu {0, 1, 2, 3 ...}. Dengan kata lain himpunan bilangan asli ditambah 0. Jadi, bilangan cacah harus bertanda positif. Himpunan bilangan cacah : C = {0, 1, 2, 3, 4, ....}

         Himpunan bilangan cacah memuat beberapa bilangan antara lain :

1. Himpunan bilangan asli  = { 1, 2, 3, 4, ...}
2. Himpunan bilangan genap = {0, 2, 4, 6, ...}
3. Himpunan bilangan ganjil = {1, 3, 5, 7, ...}
4. Himpunan bilangan kuadrat = {0, 1, 4, 9, ...}
5. Himpunan bilangan prima = {2, 3, 5, 7, ...}
6. Himpunan bilangan tersusun (komposit) = {4, 6, 8, 12, ...}

Operasi pada bilangan cacah

1. Penjumlahan
• komutatif : a + b = b + a
• asosiatif : (a + b) + c = a + (b + c)
• unsur identitas (netral) adalah nol (0)
• sifat tertutup pada penjumlahan
  Penjumlahan dua atau lebih bilangan cacah selalu menghasilkan bilangan cacah
2. Pengurangan adalah operasi kebalikan dari penjumlahan a - b = c, sama artinya dengan b + c = a.
3. Perkalian
• komutatif : a x b = b x a
• asosiatif : (a x b) x c = a x (b x c)
• distributif :
  a x (b + c) = (a x b) + (a x c)
  a x (b - c) = (a x b) - (a x c)
• unsur identitas perkalian adalah satu (1)
  a x 1 = a
  b x 1 = b
• semua bilangan cacah dikalikan dengan nol (0), hasilnya nol (0)
  a x 0 = 0
  b x 0 = 0
• sifat tertutup perkalian
  semua perkalian bilangan cacah menghasilkan bilangan cacah juga.
4. Pembagian
• Pembagian adalah operasi kebalikan dari perkalian
  a : b = c ⟹ b x c = a
• 0 dibagi dengan bilangan cacah (kecuali 0), hasilnya nol (0)

            pembagian dengan 0 tidak didefinisikan.

Garis Bilangan

         Himpunan bilangan cacah adalah {0, 1, 2, 3, …}, jika digambarkan dalam garis bilangan adalah sebagai berikut.

 

Urutan Bilangan Cacah

       1.     Dua bilangan itu sama atau tidak sama.Jika tidak sama tentulah salah satu lebih kecil     daripada yang lain.Dengan demikian kita temukan satu sifat urutan bilangan,yakni : Jika a dan b bilangan cacah maka tepat satu dari yang dibawah ini harus benar.

 a = b               atau  a < b                   atau b < a

2.      Urutan dua bilangan tidak berubah jika kedua bilangan itu ditambah dengan bilangan yang sama. Jika a < b tentu a + c < b + c

Bilangan Cacah dapat kita bedakan berdasarkan sifat-sifat, seperti sebagai berikut, yaitu:

(1) bilangan habis dibagi dua yang kita namakan bilangan genap dan bilangan yang tidak habis dibagi dua yang kita namakan bilangan ganjil,

(2) bilangan kelipatan tiga, kelipatan empat, kelipatan lima dan sebagainya,

(3) bilangan yang hanya mempunyai dua pembagi yang dinamakan bilangan prima dan bilangan yang mempunyai banyak pembagi yang dinamakan bilangan komposit,

(4) bilangan dari kuadrat sempurna dan bilangan kubik.

Bilangan Genap dan Bilangan Ganjil (Gasal)

Jika bilangan cacah yang bukan nol dikategorikan sebagai bilangan ganjil dan bilangan genap, maka kesimpulan yang perlu kita ketahui adalah:

(1) bilangan ganjil kali bilangan ganjil adalah bilangan ganjil;

(2) bilangan ganjil kali bilangan genap atau sebaliknya adalah bilangan genap; dan

(3) bilangan genap kali bilangan genap adalah bilangan genap.  Hal tersebut dapat dilihat pada tabel di bawah ini:

Tabel : Perkalian bilangan ganjil dengan bilangan genap

x	Bilangan Ganjil	Bilangan Genap
Bilangan Ganjil	Bilangan Ganjil	Bilangan Genap
Bilangan Genap	Bilangan Genap	Bilangan Genap

.Secara matematika bilangan genap didefinisikan 2n, sedangkan bilangan ganjil didefinisikan sebagai 2n + 1, dengan keterangan n sembarang bilangan cacah.  Sedangkan penjumlahan bilangan genap dan dan ganjil seperti tabel di bawah ini, yaitu:

Tabel : Penjumlahan bilangan ganjil dengan bilangan genap

+	Bilangan Ganjil	Bilangan Genap
Bilangan Ganjil	Bilangan Genap	Bilangan Ganjil
Bilangan Genap	Bilangan Ganjil	Bilangan Genap

Untuk membuktikan tabel perkalian di atas adalah sebagai berikut, yaitu: Jika a dan b adalah sembarang bilangan cacah, maka yang dimaksud dengan bilangan genap adalah 2a atau 2b, sedangkan yang dimaksud bilangan ganjil adalah 2a + 1 atau 2b + 1. 

Untuk selanjutnya berlaku: (1).  (2a + 1) x (2b + 1) = 4ab + 2a +2b +1= (2 (2ab + a + b)) + 1, di sini terlihat bahwa 4ab, 2a, dan 2b adalah bilangan genap, karena jika bilangan genap ditambahkan dengan bilangan genap sama dengan bilangan genap, maka bilangan genap ditambahkan dengan 1 (satu) adalah sama dengan bilangan ganjil.  Atau dengan cara lain dengan mengkuadratkan bilangan ganjil, seperti: (2a + 1)² = (2a + 1) x ( 2a + 1) = 4a² + 4a + 1 = [4a (a + 1)] + 1.  Dengan demikian bilangan ganjil dikalikan dengan bilangan ganjil adalah sama dengan bilangan ganjil, terbukti; (2). 2a x (2a + 1) = 4a² + 2a, di sini terlihat bahwa kedua bilangan tersebut adalah bilangan genap, dengan demikian bilangan genap dikalikan dengan bilangan ganjil adalah selalu bilangan genap, terbukti.

Contoh:

            3 + 3 = 5          (bilangan ganjil + bilngan ganjil = bilangan ganjil)

            4 + 5 = 9          (bilangan genap + bilangan ganjil = bilangan ganjil)

            6 + 6 = 12        (bilangan genap + bilangan genap = bilangan genap)

            3 x 5 = 15        (bilangan ganjil x bilngan ganjil = bilangan ganjil)

            5 x 4 = 20        (bilangan ganjil x bilangan genap = bilangan genap)

            6 x 8 = 48        (bilangan genap x bilangan genap = bilangan genap)

 Pengurangan Bilangan Cacah

         Pada penjumlahan kita mencari jumlahnya,sedangkan pada pengurangan kita mencari selisihnya.Kita ketahui penjumlahan itu berkaitan dengan penggabungan atau penyatuan himpunan benda-benda sejenis.Oleh karena itu pengurangan berkaiatan dengan pemisahan himpunan benda-benda sejenis.Pada umumnya persoalan pengurangan dapat dilihat dalam 3 macam keadaan, yaitu membuang ,mencari suku yang hilang dan membandingkan.

Seperti penjumlahan ,pengurangan dapat dilakukan dengan 4 pendekatan yaitu kumpulan ,pengukuran ,mesin fungsi dan cara bersusun pendek.

Sifat- sifat Pengurangan

     1.    Apakah operasi pengurangan tertutup pada bilangan cacah?

Dengan mengambil beberapa pasangan bilangan cacah sembarang,kita akan mengetahui bahwa sifat pengurangan itu tidak tertutup pada bilangan cacah.Sebab selisih  dua bilangan cacah tidak selalu hasilnya bilangan cacah lagi.

Contoh  4 – 9 = - 5

Meskipun 4 dan 9 itu bilangan cacah tetapi -5 bukan bilangan cacah

     2.    Apakah operasi pengurangan memenuhi sifat pertukaran ?

Tidak, karena tidak setiap bilangan cacah,bila dikurangkan letaknya dapat dipertukarkan.

     3.    Untuk setiap a, b,c, p,q dan r bilangan cacah berlaku

             a.       ( a – b ) + c = ( a + c ) – b                 ; syarat : a > b

             b.      ( a- b ) + c = a – ( b – c )                   ; syarat ; a > b dan b> c

             c.       a – b = ( a + c)- ( b+ c)                     ; syarat ; a> b

             d.      ( a –b ) – c = ( a- c ) – b                    ; syarat  a> b dan (a-b) >c

             e.       ( a –b) –c = a – ( b + c)                     ; syarat  a> b dan (a-b) >c

             f.       a – b = ( a-c) – ( b-c)                         ; syarat  a > b dan b > c

             g.      ( a + b + c )- ( p+ q +r )= ( a-p)+ (b-q) + (c-r) ; syarat a > p, b > q, c > r

        Pembagian Bilangan Cacah

         Bermacam-macam pendekatan dalam menanamkan pengertian tentang pembagian.

      1  Pembagian melalui himpunan

      2   Pembagian melalui pengukuran

                   a. Dengan garis bilangan

                   b. Dengan timbangan bilangan

                   c. Dengan batang kuisener

       3   Pembagian melalui jajaran

       4   Pembagian melalui mesin fungsi

       5   Pembagian sebagai pengurangan berulang

       6   Pembagian sebagai kebalikan perkalian

       7   Membagi dengan cara bersusun pendek

Sifat-sifat pembagian

        Untuk setiap a, b, c, p, q dan r bilangan cacah berlaku

      1.      sifat bilangan 0 dalam pembagian

         0 : a = 0 untuk a ≠ 0

         a : 0 = tak didefinisikan

         0 : 0 = tidak tentu

      2.      ( a:b ) : c = a : ( b: c)                   ; syarat : b factor dari a dan c factor dari b

3.                                                                           3      ( abc) : ( pqr) = a/p x b/q x c/r     ; syarat  : a, b, c,p, q, r merupakan bilangan    asli.

        - p faktor dari a

        - q faktor dari b

        - r faktor dari c

      4.      a : b = ( ca) : ( cb)                                   ; syarat : c≠ 0 dan b factor dari a

      5.      a : b = [ a/c] : [b/c]                      ; syarat  b factor dari a dan c factor dari b

      6.      ( a : b) : c = a : ( b: c)                  ; syarat : b dan c factor-faktor dari a

      7.      ( a : b) : c = ( a :c ) : b                 ; syarat : b dan c factor-faktor dari a

      8.      Sifat distributive pembagian terhadap penjumlahan:

         ( a + b) : c = [ a/c] + [b/c]                       ; syarat : c factor dari a dan b

       9.      Sifat distributive pembagian terhadap pengurangan :

          ( a – b) : c = a/c – b/c                 ; syarat : a > b dan c factor dari a dan b

      10.    Jika a < b , c factor dari a dan b maka a/c < b/c

     Pengurangan dan Pembagian

       Pengurangan bilangan b dari bilangan cacah a, ditulis a – b menghasilkan bilangan cacah c, jika dan hanya jika c – b = a atau c – a = b.

Contoh:

7 + 2 = 9                sebab 9 – 2 = 7

12 + 3 = 15            sebab 15 – 12 = 3

24 + 23 = 47          sebab 47 – 23 = 24

Pengurangan ini sering dijadikan sebagai pemeriksaan hasil dari penjumlahan, untuk meyakinkan bahwa hasil penjumlahan tersebut benar. Misalkan, apakah benar 12 + 13 = 25, maka untuk meyakinkan hasil penjumlahan tersebut cobalah balikan, berapkah  25 – 13 = … ? Jika hasil 12, maka hasil penjumlahan tersebut adalah benar.

Contoh Soal:

Amin disuruh ibunya membeli 10 butir telur, ketika dalam perjalanan pulang tiba-tiba terjatuh, sehingga telur yang dibelinya ada yang pecah. Adapun telur yang masih tersisa 7 butir. Berapa butir telor yang pecah?

Jawab:

Soal tersebut dapat diselesaikan dengan pendekan model matematika seperti berikut:   10 – 7 = 3              sebab 7 + 3 = 10

                  Misalkan x adalah telur yang pecah, maka                

10 – x  = 7

x = 3   

Jadi telur yang pecah adalah 3 butir. 

            Sedangkan pembagian didefinikan sebagai berikut:

            Jika x bilangan cacah dan y bilangan asli, maka x dibagi y sama dengan bilangan cacah z, jika dan hanya jika z.y  = x

Contoh:

12 : 3 = 4         sebab   4 x 3 = 12

42 : 7 = 6         sebab   6 x 7 = 42

20 : 5 = 4         sebab   4 x 5 = 20

Contoh Soal

      Ibu membagikan kue sebanyak 30 biji kepada anaknya yang berjumlah 5 orang, masing mendapatkan bagian yang sama. Berapakah anaknya masing-masing mendapatkan kue?

Jawab:

Misalkan A, B, C, D, dan E adalah nama-nama anak, jika 30 kue dibagi habis kepada 5 orang, maka masing-masing mendapatkan 6 biji kue. Dan gambar yang da[at dibuat adalah sebagai berikut

 

Contoh soal

Pak Ahmad membagikan uang sodaqoh kepada sejumlah pakir miskin sebanyak Rp. 50.000,00, masing-masing medapatkan Rp. 12.500,00. Berapakah jumlah pakir miskin yang diberi uang oleh Pak Ahmad?

Jawab:

Misalkan jumlah orang pakir miskin adalah p.

Rp. 50.000,00 : p = Rp. 12.500,00 atau ditulis

12500 p = 50000

p =

p = 4

KESIMPULAN

1. Bilangan cacah adalah sebagai gabungan bilangan asli dengan bilangan 0 (nol),  bilangan  asli itu sendiri adalah himpunan A = {1, 2, 3, …..), jadi bilangan cacah terdiri dari {0, 1, 2, 3, …..}
2. Sifat-sifat Penjumlahan yaitu:  tertutup, komutatif, asosiatif, dan sifat penjumlahan dengan nol.
3. Fakta dasar penjumlahan terdapat 100 yaitu dimulai dari 0 + 0 sampai dengan 9 + 9.
4.  Penguasaan konsep perkalian sedikitnya dapat dilakukan dengan empat pendekatan, yaitu:

 (1) pendekatan pemasangan dari dua anggota himpunan;

(2) pendekatan penjumlahan berulang;

(3) pendekatan gabungan dua himpunan; dan

      (4) pendekatan membilang loncat.

5. Sifat perkalian adalah: tertutup,  komutatif, asosiatif, distributive, adanya Elemen Identitas dan Sifat Perkalian degan Bilangan 0 (nol)

6. Fakta dasar perkalian sebanyak 100, dimuali dari 0 x 0 sampai dengan 9 x 9

7. Pengurangan bilangan b dari bilangan cacah a, ditulis a – b menghasilkan bilangan cacah c, jika dan hanya jika c – b = a atau c – a = b.

8. Pembagian didefinikan: Jika x bilangan cacah dan y bilangan asli, maka x dibagi y sama dengan bilangan cacah z, jika dan hanya jika z.y  = x

DAFTAR PUSTAKA

Hollands, Roy. (1984). Kamus Matematika (Terjemahan Naipopos Hutahuruk).

Jakarta: Erlangga.

Wheeler, Ruric E. (1973). Modern Mathematics An Elementary Approach (Third Edition),  (California: Brooks/Cole Publishing Company, Monterey.

Soewito, Dkk.(1991/1992) Pendidikan Matematika I. Jakarta: Depdikbud Dirjen Dikti P2TK.