Sistem Bilangan Bulat

SISTEM BILANGAN BULAT

Bilangan bulat tersusun dari bilangan bulat positif, bilangan nol dan bilangan bulat negatif. bilangan bulat positif { 1, 2, 3…}, bilangan nol { 0 } atau { }, bilangan bulat negatif {…,-3, -2, -1}.

Definisi 1 :

Jika n bilangan asli, maka –n didefinisikan tunggal sehingga n + -n = -n + n = 0

atau

Jika n bilangan bulat, maka n + (-n) = (-n) + n = 0. (-n) disebut lawan dari (invers penjumlahan dari) n, dan 0 disebut elemen identitas terhadap penjumlahan.

Definisi 1 menyatakan bahwa untuk setiap bilangan bulat n ada dengan tunggal bilangan bulat   (-n) sedemikian hingga n + (-n) = (-n) + n = 0. Lawan dari -n adalah -(-n) sehingga (-n) + (-(-n)) = (-(-n))+(-n) = 0. Karena (-n) + n = n + (-n) = 0 dan mengingat ketunggalan dari n, maka          (-(-n)) = n. jadi lawan dari (-n) adalah n. secara umum -n adalah satu-satunya bilangan yang mana bila ditambah n memberikan 0, dimana n adalah suatu bilangan asli. Bilangan -n disebut invers penjumlahan (additif) dari n. Contoh: 7 adalah invers penjumlahan dari -7 dan -7 adalah invers penjumlahan dari 7 sebab 7 + (-7) = (-7) + 7 = 0.

Definisi 2 :

Sistem bilangan bulat terdiri atas himpunan bilangan bulat B = {…, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, …} dengan dua operasi biner yaitu penjumlahan (+) dan perkalian (x), dan mempunyai sifat-sifat :

1.    Tertutup terhadap operasi penjumlahan (+) dan perkalian (x)

Ada dengan tunggal a, b ∈ B maka a + b dan a x b berlaku sifat tertutup

    Jumlah bilangan bulat sebarang adalah bilangan bulat

    Hasil kali bilangan bulat sebarang adalah bilangan bulat

2.    Komutatif terhadap operasi penjumlahan (+) dan perkalian (x)

Untuk semua elemen a dan b dari bilangan bulat B berlaku

    a + b = b + a

    a x b = b x a

3.    Asosiatif terhadap operasi penjumlahan (+) dan perkalian (x)

Untuk semua elemen a, b dan c ∈ B berlaku

    (a + b) + c = a + (b + c)

    (a x b) x c = a x (b x c)

4.    Distributif kiri dan kanan operasi perkalian (x) terhadap penjumlahan (+)

Untuk semua elemen a, b dan c ∈ B berlaku

    Distributif kiri : a x (b + c) = (a x b) + (a x c)

    Distributif kanan : (a + b) x c = (a x c) + (b x c)

5.    Ketunggalan invers penjumlahan

Untuk masing-masing a ∈ B dan invers penjumlahan yang tunggal -a sehingga : a + (-a) = 0. Jika    a = -x maka -a = -(-x) dan -x + -(-x) = 0 karena -x + x = 0 dan invers penjumlahan adalah tunggal, maka -(-x) = x

6.    Ada elemen identitas penjumlahan (+) dan perkalian (x)

    Jika a bilangan bulat maka ada bilangan bulat 0 sehingga berlaku a + 0 = 0 + a = a.                   0 disebut elemen identitas penjumlahan.

    Jika a bilangan bulat, maka ada bilangan bulat 1 sehingga berlaku a x 1 = 1 x a = a.                   1 disebut elemen identitas perkalian.

7.    Perkalian dengan nol

Jika a adalah bilangan bulat maka 0 x a = a x 0 = 0

Penjumlahan Bilangan Bulat

    Misalkan a dan b bilangan-bilangan cacah, bagaimanakah penjumlahan (-a) + (-b) ?. misalkan c adalah bilangan bulat yang menyatakan (-a) + (-b), yaitu :

                   c = (-a) + (-b)     maka

                            c + b = ((-a) + (-b)) + b        sifat penjumlahan pada kesamaan

                            c + b = (-a) + ((-b) + b)        sifat asosiatif penjumlahan

                                 c + b = (-a) + 0            invers penjumlahan

                     (c + b) + a = (-a) + a            sifat penjumlahan pada kesamaan

                     (c + b) + a = 0                invers penjumlahan

                     c + (b + a) = 0                sifat asosiatif penjumlahan

                     c + (a + b) = 0                sifat komutatif penjumlahan

(c + (a + b)) + (-(a + b)) = -(a + b)            sifat penjumlahan pada kesamaan

 c + ((a + b) + (-(a + b)) = -(a + b)            sifat asosiatif penjumlahan

                              c + 0 = - (a + b)            invers penjumlahan

                                    c = -(a + b)

karena c = (-a)+(-b) = -(a + b)

jadi, jika a dan b bilangan-bilangan bulat positif, maka (-a) + (-b) = -(a + b)

    Misalkan a dan b bilangan-bilangan cacah dengan a< b, bagaimanakah a + (-b) ?

Menurut definisi bilangan-bilangan cacah a < b berarti ada bilangan asli c sedemikian hingga         a + c = b, dan menurut definisi pengurangan bilangan-bilangan cacah a + c = b sama artinya dengan b – a = c

jadi a + (-b) = a + (-(a + c))

                    = a + ((-a) + (-c))        penjumlahan dua bilangan bulat negatif

                    = (a + (-a)) + (-c)        sifat asosiatif penjumlahan

                    = 0 + (-c)            invers penjumlahan

                    = -c karena c = b – a, maka a + (-b) = -(b – a)

Jadi jika a dan b bilangan-bilangan bulat positif dengan a < b, maka a + (-b) = -(b - a)

Definisi 3

Jumlah dua bilangan bulat pada operasi penjumlahan didefinisikan seperti hal dibawah ini, dimana a dan b adalah bilangan-bilangan cacah.

a.    a + b = n(A) + n(B), dimana a = n(A), b = n(B) dan AB = 

b.    –a + -b = -(a + b)

c.    a + -b = -b + a = a – b, jika a > b

d.    a + -b = -b + a = -(b – a), jika a < b

Contoh :

1.    2 + (-5) = -(5 – 2) = -3

2.    7 + -4 = 7 – 4 = 3

3.    -3 + -5 = -(3 + 5) = -8

4.    -7 + 9 = 9 + -7 = 9 – 7 = 2

5.    -9 + 5 = 5 + -9 = -(9 – 5) = -4

6.    -16 + -17 = -(16 + 17) = -33

Pengurangan Bilangan Bulat

Definisi 4

Jika a, b dan k bilangan-bilangan bulat, maka a – b = k bila dan hanya bila a = b + k. pengurangan bilangan-bilangan cacah tidak memiliki sifat tertutup, yaitu jika a dan b bilangan-bilangan cacah, (a – b) ada (bilangan cacah) hanya jika a > b. apakah pengurangan bilangan-bilangan bulat memiliki sifat tertutup ?

Untuk menunjukkan bahwa pengurangan bilangan-bilangan bulat memiliki sifat tertutup, maka harus ditunjukkan bahwa ubtuk setiap a dan b bilangan-bilangan bulat selalu ada tunggal bilangan bulat (a – b). pertama kita tunjukkan eksistensinya yaitu ada bilangan bulat k sedemikian hingga a – b = k.

Menurut definisi pengurangan a – b = k bila dan hanya bila a = b + k

a + (-b) = (b + k) + (-b)    sifat penjumlahan

             = (k + b) + (-b)    sifat komutatif penjumlahan

             = k + (b) + (-b)    sifat asosiatif penjumlahan

             = k + 0        invers penjumlahan

               a + (-b) = k

k = a + (-b) ini menunjukkan bahwa ada bilangan bulat k sedemikian hingga a – b = k

Selanjutnya akan diperlihatkan bahwa bilangan bulat k (yang sama dengan a + (-b)) itu tunggal. Andaikan ada bilangan bulat n dengan n  k sedemikian hingga a = b + n. karena a = b + k maka b + n = b + k. jika kedua ruas kesamaan terakhir masing-masing ditambah (-b) dan dengan sifat asosiatif penjumlahan dan invers penjumlahan maka diperoleh bahwa n = k yang bertentangan dengan pengandaian. Jadi bilangan bulat k tertentu dengan tunggal sehingga a = b + k.

Dengan demikian terbuktilah bahwa pengurangan bilangan-bilangan bulat memiliki sifat tertutup. Jadi a – b = k = a + (-b).

Latihan soal :

1.    Jika  a dan b bilangan-bilangan cacah dengan b < a, buktikanlah a + (-b) = a – b

2.    Buktikanlah bahwa a - (-b) = a + b

3.    Buktikan bahwa a - (b – c) = (a + c) – b

4.    Buktikan bahwa (a - b) – (-c) = (a + c) –b

5.    Buktikanlah bahwa a – b = (a - c) – (b - c)